由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1, 因此不能控子系统是稳定的,系统是可镇定的。
状态反馈镇定(10/12)
2) 对能控部分进行极点配置 由上可知,系统的能控部分为
1 0 1 0 ( A11 , B1 ) , 0 1 1 2
因此,当且仅当渐近稳定时(的特征值均具有负实部), 整个系统是状态反馈能镇定的。
从而定理得证。

状态反馈镇定(6/12)
基于线性系统能控结构分解方法和状态反馈极点配置方法, 可得到如下状态反馈镇定算法。
状态反馈镇定算法:
步1: 将可镇定的系统(A,B,C)进行能控性分解,获得变换矩 阵Pc,并可得到
因此,通过状态(输出)反馈矩阵使系统的特征值得到相 应配置,把系统的特征值(即的特征值)配置在平面的左 半开平面就可以实现系统镇定。
系统镇定(3/3)
下面分别介绍基于 状态反馈
输出反馈 的2种镇定方法。
状态反馈镇定(1/12)
4.3.1 状态反馈镇定
线性定常连续系统状态反馈镇定问题可以描述为: 对于给定的线性定常连续系统(A,B,C),找到一个状态反 馈控制律:
~ ~ ~ 设A* 为具有期望特征值的闭环系统矩阵且 A* A11 B1K1, 本例中设期望的闭环极点取为-3和-2。

*
因此有
~ ~ ~ 1 0 1 0 k11 k12 1 k11 k12 A A11 B1 K1 1 k 0 1 k k 22 2 k 22 1 2 21 21
u Kx v
使得闭环系统状态方程
x ( A BK ) x Bu
是镇定的,其中K为状态反馈矩阵,v为参考输入。
状态反馈镇定(2/12)
对是否可经状态反馈进行系统镇定问题,有如下2个定理。 定理4-3 状态完全能控的系统(A,B,C)可经状态反馈矩阵镇 定。 证明 根据状态反馈极点配置定理4-1,对状态完全能控的系 统,可以进行任意极点配置。 因此,也就肯定可以通过状态反馈矩阵K将系统的闭环极 点配置在s平面的左半开平面之内,即闭环系统是镇定的。 故证明了,完全能控的系统,必定是可镇定的。
状态反馈镇定(9/12)
于是可得
1 0 0 P 1 AP 1 2 1 , A c c 0 0 1 1 0 P 1 B 0 1 B c 0 0
原系统的能控性分解为
1 0 0 1 0 x1 x1 1 2 1 0 1 u x2 0 0 1 x 0 0
输出反馈镇定 P211
试设计状态反馈矩阵K,使系统镇定.
状态反馈镇定(8/12)
解: 1) 对系统进行能控性分解。
rankB 0 1 1 2 AB rank 1 0 1 0 2 n 3 0 1 1 2
表明系统不完全能控.
取能控性分解变换矩阵Pc为:
0 1 1 Pc 1 0 0 , 0 1 0 0 1 0 Pc1 0 0 1 1 0 1
状态反馈镇定(11/12)
~ 显然,当反馈阵K1 为
~ k11 k12 4 0 K1 k 21 k 22 1 4
此时,闭环系统矩阵A*为
3 0 A 0 2
*
状态反馈镇定(12/12)
3) 求取原系统的状态反馈镇定矩阵
~ K K1

状态反馈镇定(3/12)
定理4-4 若系统(A,B,C)是不完全能控的,则线性状态反馈使 系统镇定的充要条件是系统的完全不能控部分是渐近稳定的, 即系统(A,B,C)不稳定的极点只分布在系统的能控部分。 证明 (1) 若系统(A,B,C)不完全能控,可以通过线性变换将其 按能控性分解为: ~ ~ ~ A11 A12 ~ B1 ~ 1 1 A Pc APc ~ B Pc B 0 A22 0
~ ~~ K1 ,使得 A11 B1K1 步2: 利用极点配置算法求取状态反馈矩阵
具有一组稳定特征值。
步3: 计算原系统(A,B,C)可镇定的状态反馈矩阵
K [ K1 0] Pc1
例4-6 给定线性定常系统
0 1 2 0 1 xБайду номын сангаас 0 1 0 x 1 0 u 1 1 1 0 1

0 1 0 4 0 0 0 4 0 1 0 Pc 0 0 1 0 1 4 1 4 0 1 0 1

经检验,经状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。
0 0 2 A BK 0 3 1 1 0 3
~ ~ ~ C CPc [C1 C2 ]
其中, c ( A11 , B1 , C1 ) 为完全能控子系统; nc ( A22 ,0, C2 ) 为完全不 能控子系统。
状态反馈镇定(4/12)
(2) 由于线性变换不改变系统的特征值,故有:
| sI1 A11 | sI A || sI A 0 A12 | sI1 A11 | | sI 2 A22 | sI 2 A22
系统镇定(1/3)
系统镇定
受控系统通过状态反馈(或者输出反馈),使得闭环系统渐近 稳定,这样的问题称为镇定问题。
能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的。
镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内。
镇定问题的重要性主要体现在3个方面: 首先,稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要 条件,是对控制系统的最基本的要求; 其次,许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终 设计目标;
比较式(6-18)与式(6-20),可以发现:
引入状态反馈阵 K [ K1 K2 ] 后,只能通过选择 K1 来 使得 ( A11 B1 K1 ) 的特征值具有负实部,从而使能控子 系统 c 渐近稳定。
但 K 的选择并不能影响不能控子系统的 nc特征值 分布。
| sI A || sI1 A11 | | sI 2 A22 | (6 18)
状态反馈镇定(5/12)
进而可得闭环系统特征多项式为:
| sI ( A BK ) || sI1 ( A11 B1K1 ) | | sI 2 A22 | (6 20)
(3) 由于原系统(A,B,C)与结构分解后的系统 ( A, B, C ) 在稳定 性和能控性上等价,假设K为系统的任意状态反馈矩阵,对 ~ ~ ~ K KPc [ K1 K 2 ] ,可得闭环系统的系统矩阵 引入状态反馈阵 为
A11 A BK 0 A11 B1 K1 A12 B1 K 2 A12 B1 K1 K 2 0 A22 0 A22
A11 A P APc 0
1 c
A12 , A22
P 1 B B1 B c 0
~ 其中, ( A11, B1 ) 为完全能控部分, ( A22 ,0) 为完全不能控部分但 渐近稳定。
~
状态反馈镇定(7/12)—例6-6
系统镇定(2/3)
最后,稳定性往往还是确保控制系统具有其它性能 和条件,如渐近跟踪控制问题等。 镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况,它只要求把 闭环极点配置在s平面的左侧,而并不要求将极点严格配置 在期望的极点上。
为了使系统稳定,只需将那些不稳定因子,即具有非负实 部的极点,配置到s平面的左半开平面即可。