2008年江西省高考数学试卷（理科）、选择题（共 12小题，每小题 5 分，满分 60分） 5 分）在复平面内，复数 z sin2 i cos2 对应的点位于 （A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限圆离心率的取值范围是 （ ） 2． 5 分）定义集合运算： A* B {z|z xy ， x A ， y B} ． 设 A {1，2}，B {0，2} ， 3． 4． 5． 则集合 A ．0 5 分） A* B 的所有元素之和为 （ 若函数 1 A ．[2,3] B ．2 C ． D ．6y f （ x ） 的值域是 1[12,3]，则函数 F(x) f (x) f （x ）的值域是（B ． 10 [2,130]C ． [52,130]D ． 10 [3,130] x325分) l x im 1 x x 312 ( 1 A ． 2 B ． C ．D ． 不存在5 分）在数列{ a n } 中， a 1 2 ， a n 1 a n 1ln (1 )，则 a nnA ． 2 ln nB ． 2 (n 1)ln nC ． 2 n lnD ．1 n ln 6．7． 5 分）已知 F 1 、 F 2 是椭圆的两个焦点，满足MF 1 MF 2 0的点 M 总在椭圆内部， 则椭1． A ． (0,1)B ．(0， 12]C ．(0, 22)2D ．[ 2 ，1)28．( 5分) (1 3x)6(1 41 )10展开式中的常数项为 ( )A ．1 B．46 C． 4245 D． 42469．( 5 分)若 0 a1 a2 ， 0 b1 b2 ，且 a1 a2 b1 b2 1 ，则下列代数式中值最大的是()1 A．a1b1 a2b2 B．a1a2 b1b2 C． a1b2 a2b1 D．1 12 2 1 2 1 2 1 2 2 1 210．( 5分)连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD 的长度分别等于 2 7 、 4 3 ，M 、 N 分别为AB 、 CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、 CD可能相交于点M ；②弦AB 、 CD可能相交于点 N；③MN 的最大值为 5；④ MN 的最小值为 1其中真命题的个数为 ( )A．1 个 B．2 个C．3 个D．4 个11．(5分)电子钟一天显示的时间是从 00: 00到23:59 的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为 ( )1 1 1 1A ．B ．C． D ．180 288 360 480倒置，水面也恰好过点 P （图（ 2） ） 有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 PD ．若往容器内再注入 a 升水，则容器恰好能装满． 其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号） ．三、解答题（共 6 小题，满分 74 分） 17 ．（ 12 分）在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对应的边分别为 a ， b ， c ， a 2 3 ，A B C tan tan 4 ， 2218．（ 12 分）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0倍、 0.9 倍、0.8倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年 产量的 1.25 倍、 1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量 达到灾前的 1.2 倍、 1.0倍、 0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为 上一年产量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令 i （i 1,2） 表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． 1）．写出 1、 2 的分布列；2）．实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？3）．不管哪种方案， 如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量， 预计可带来效益 10 万元； 两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益 15 万元；柑桔产量超过灾前产量， 预计可带来效益 20 万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？19．（ 12 分）数列 { a n } 为等差数列， a n 为正整数，其前 n 项和为 S n ，数列 {b n }为等2sin BcosC sin A ，求 A ， B 及b ，c ．比数列，且a 1 3，b 1 1，数列 { b a n}是公比为 64的等比数列， b 2S 2 64 ．（1）求 a n ， b n ；（2）求证1 1 1 3 ． S 1 S 2S n 420．（ 12分）如图，正三棱锥 O ABC 的三条侧棱 OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为 2．E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点， H 是EF 的中点，过 EF 作平面与侧棱 OA 、 OB 、 OC 或其 延长线分别相交于 A 1、 B 1、 C 1，已知 OA 1 3．1 1 1 12 （1）求证： B 1C 1 平面 OAH ； 2）求二面角 O A 1B 1 C 1 的大小．2221．（12分）设点 P （x 0，y 0）在直线 x m （y m,0 m 1）上，过点 P 作双曲线 x 2 y 2 1的1 两条切线PA 、 PB ，切点为 A 、B ，定点 M （ ,0） ．m（1）求证：三点 A 、 M 、B 共线．（2）过点 A 作直线 x y 0的垂线，垂足为 N ，试求 AMN 的重心 G 所在曲线方程． 22．（14 分）已知函数 f （x ） 1 1 ax ， x （0, ）1 x 1 a ax 8 （1）当 a 8时，求 f （x ） 的单调区间； （2）对任意正数 a ，证明： 1 f （x ）2 ．2008 年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12小题，每小题 5 分，满分 60分）1．（ 5分）在复平面内，复数 z sin2 icos2 对应的点位于 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】 解： sin2 0 ， cos2 0 ， z sin2 i cos2 对应的点在第四象限，故选D ． 2．（5分）定义集合运算： A* B {z|z xy ，x A ，y B} ．设 A {1，2}，B {0，2}，则集合 A * B 的所有元素之和为 （ ）解答】 解：根据题意，设 A {1，2}，B {0， 2}，故选： D ．则 y t 1⋯2 t 1 2 1当且仅当 t 即 t 1 时取 t 所以 y 的最小值为 2 故选： B ．lim ( x 3 2)( x 3 2)( x 1) x 1 x 1 ( x 1)( x 1)( x 3 2)A ．0B ．2C ．3D ．6则集合 A* B 中的元素可能为： 0、 2、0、4， 又有集合元素的互异性，则 A * B {0 ， 2， 4｝， 其所有元素之和为 6；3．（5 分）若函数 1y f ( x) 的值域是 [ ,3] ，2 则函数 F(x) f (x) 1 f(1x) 的值域是 ( )1 A ．[2,3] B ． 10 [2,130] C ． 5 10[52,130] 10 D ．[3,130]解答】 解：令 t f （x ） ， 1 t [ 12 ,3]，x324．( 5分) l x im 1 ( A ．12B ．C ．D ．不存在解答】 解： l x im 1 x 3 2lxim1(x 1)( x 1) x 1 ( x 1)( x 3 2) 1， 2， 故选：A ．15．( 5分)在数列 {a n }中， a 1 2，a n1 a n ln(1)，则 a n ( n2 lnn ．故选： A ．6．( 5 分)函数 y tan x sin x | tan x sin x| 在区间解答】 解：函数 y tanx sinx tanx sinx分段画出函数图象如 D 图示，A ． 2 ln nB ． 2 (n 1)ln nC ． 2 n ln nD ． 1 n ln n解答】 解： 在数列 {a n } 中， a 1 2， a n 1 a n ln(1 1) ， n 1 n 1 a n 1 a n ln(1 n ) ln n ，a n a 1 (a 2 a 1) (a 3 a 2 ) (a n a n 1 )2 ln 2 ln3 ln n2n1 2 ln (2 32n n n 1) 3 ) 内的图象是 ( )2故选： D ．7．(5 分)已知 F 1 、 F 2是椭圆的两个焦点，满足 MF 1 MF 2 0的点 M 总在椭圆内部，则椭 圆离心率的取值范围是 ( )1 2 2A ． (0,1)B ． (0， ]C ． (0, )D ．[ ，1)2 22【解答】 解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a ，b ，c ，M 点的轨迹是以原点 O 为圆心，半焦距 c 为半径的圆． 又 M 点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即 c b ， c 2 b 2 a 2 c 2 ．e 2c 2 1，2 ．e 2 ， 0 e ．a 2 22故选： C ． 18．( 5分) (1 3 x)6(1 41 )10展开式中的常数项为 ( ) 4xA ．1B ．46C ． 4245D ． 4246r【解答】 解： (1 3 x)6的展开式的通项为 T r 1 C 6r (3x)r C 6r x 3 ，其中 r 0，1， 2 6r k r k(1 3 x)6(1 41 )10的通项为 C 6r x 3 C 1k 0x 4 C 6r C 1k 0x 3 4 4x 当 r k 0 时，展开式中的项为常数项 34 r 0 r 3 r 6r 0， r 3 ， r 6时，展开式中的项为常数项 k 0 k 4k 8展开式中的常数项为 1 C 63C 140 C 66C 180 4246 故选： D ． 9．( 5 分)若 0 a 1 a 2 ， 0 b 1 b 2 ，且 a 1 a 2 b 1 b 2 1 ，则下列代数式中值最大的是()1 A ．a 1b 1 a 2b 2B ．a 1a 2 b 1b 2C ． a 1b 2 a 2b 1D ．1 12 2 1 2 1 2 1 2 2 12(11 )10 4x )的展开式的通项为k1 kT k 1 C 1k 0( 4 )kkC 10x 4 ，其中 k 0 ， 1， 2， 101288360A ． 1 180B ． 1C ．D ．1 480解答】 解：一天显示的时间总共有 24 60 1440 种， 和为 23 有 09:59 ，19:58 ， 18:59 ，19: 49总共有 4 种， 解答】 解： a 1a 2 b 1b 2, (a1 a2)2 (b1 b2 )2 12 2 2又a 1b 1 a 2b 2(a 1 b 2 a 2b 1) (a 1 a 2 )b 1 (a 1 a 2 )b 2 (a 2 a 1 )(b 2 b 1) 0 a 1b 1 a 2b 2 ( a 1b 2 a 2b 1)而1 (a 1 a2 )(b 1 b 2) a 1b 1 a 2b 1 a 1b 2 a 2b 2 2(a 1b 1 a 2b 2 )1a 1b 1 a 2b 2⋯2解法二：取 a 1 1 ， a 2 3 ， b 1 1 ， b 2 2 即可．1 42 4 13 2 3故选： A ．10．（5 分）连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为别等于 2 7、4 3， M 、 N 分别为 AB 、 CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动， 有下列四个命题：①弦 AB 、 CD 可能相交于点 M ；②弦 AB 、 CD 可能相交于点 N ；③MN 的最大值为 5；④ MN 的最小值为 1 其中真命题的个数为 （ ） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【解答】 解：因为直径是 8，则①③④ 正确；②错误．易求得 M 、 N 到球心 O 的距离分别为 3、2， 若两弦交于 N ，则 OM MN ， Rt OMN 中，有 OM ON ，矛盾． 当 M 、O 、 N 共线时分别取最大值 5最小值 1． 故选： C ．11．（5分）电子钟一天显示的时间是从 00: 00到23:59 的每一时刻都由四个数字组成， 则一天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为 （ ）4 的球的两条弦 AB 、 CD 的长度分第 9 页(共 19 页)故选： C ．212．(5 分)已知函数 f (x) 2mx 2 2(4 m)x 1，g(x) mx ，若对于任一实数 x ，f (x) 与 g(x) 至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,2)B ． (0,8)C ． (2,8)D ． ( ,0)【解答】 解：当 m, 0 时，2当 x 接近 时，函数 f (x) 2mx 2 2(4 m)x 1与 g(x) mx 均为负值， 显然不成立 当 x 0 时，因 f (0) 1 0 当 m 0 时，若 b 4 m ⋯0 ，即 0 m, 4时结论显然成立；2a 2m若 b 4 m 0 ，时只要△ 4(4 m)2 8m 4(m 8)(m 2) 0即可，即 4 m 8 2a 2m 则 0 m 8 故选： B ．二、填空题(共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分)13．(4 分)直角坐标平面上三点 A(1,2) 、 B(3, 2)、 C(9,7) ，若 E 、 F 为线段 BC 的三等分 点，则 AE AF 22 ．【解答】 解：根据三等分点的坐标公式， 得 E(5,1) ， F (7,4) ； AE (4, 1) ， AF (6,2)故所求概率为 P1440 360故答案为： 22x 3 1 114．(4 分)不等式 2 x , 1 的解集为 {x|x, 2 3 或 0 x, 1}解答】 解： 2x3 x 34 6 2 22x, 3或 0 x, 1．故答案为： {x|x, 3或0 x, 1} ．215．（ 4分）过抛物线 x 1 2 2py （p 0） 的焦点 F 作倾斜角为 30 的直线，与抛物线分别交于 A 、解答】 解：如图，作 AA 1 x 轴， BB 1 x 轴．则 AA 1 / /OF / /BB 1 ， | AF | |OA 1| |x A | ， |FB | |OB 1 | |x B | ，又已知 x A 0 ， x B 0 ， | AF | x A |FB |x B直线 AB 方程为 y x tan30 p2即 y 3 x p ，32 与 x 2 2 py联立得x 2 2 3 px p 2 032 3 2x A x B p ， x A x Bp ，334( x 2A x B 2 2x A x B ) 3x A 2 3 x 2B 10x A x B 0 两边同除以 x B 2（x B 2 0） 得 x A 2 x A3( A ) 10 A 3 0 x B x B23x A x BxA3 或x Bx 2 2x 3x0， (x 3)( x 1),0B 两点（点 A 在 y 轴左侧），则| AF |1 |FB |3x A x B ( A 2 3 B )3x A x B ，x A1，x B| AF | x A 1 1( ) ．| FB | x B 3 3另解：设 AF a ， BF b ，由抛物线的定义可得 AC AF a， BD BF b ，由直角三角形中 30 所对的直角边为斜边的一半，可得b a 23(a b)，即有 b 3a，即||A F F B ||16．（ 4 分）如图（ 1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图（ 2））有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满．其中真命题的代号是：BD （写出所有真命题的代号）．3sin C ，又 C (0, )解答】 解：设图（ 1）水的高度 h 2 几何体的高为 h 1 图（ 2）中水的体积为 b 4 1 5h 1 b 6 7h 2 b 2（h 1 h 2 ），2 2 2 5 所以3 b 2h 2 b 2（h 1 h 2 ） ，所以 h 1 3h 2，故 A 错误， D 正确． 33对于 B ，当容器侧面水平放置时， P 点在长方体中截面上， 又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P 点，故 B 正确．对于 C ，假设 C 正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时， 25 2经计算得水的体积为 25b 2h 2 2 b 2h 2 ，矛盾，故 C 不正确．36 3 故选 BD三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）解答】 解：由 tan A B tan C 4 得cot C tan C 42 2 2 2CC cos sin2 2 4 CC sin cos 22即 sin （B C ） 0 B C A （B C ） 2631由正弦定理a b c得b c a sin B2 3 2 2sin A sinB sinC sin A 3218．（ 12 分）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种CC sin cos 225 5C 6 ，或 C 5617 ．（ 12 分）在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对应的边分别为 a ，b ，c ， a 2 3， tan AB 2C tan 4 2 2sin BcosC sin A ，求 A ， B 及b ，c ．拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0倍、 0.9 倍、0.8倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.25 倍、 1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、 1.0倍、 0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令i （i 1,2）表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．（1）．写出1、2 的分布列；（2）．实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？（3）．不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10 万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益 15 万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益 20 万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【解答】解：（1）1 的所有取值为 0.8、0.9、1.0、1.125、1.252 的所有取值为 0.8、0.96、 1.0、1.2、1.44，1 22）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，P（A） 0.15 0.15 0.3 ，P（ B） 0.24 0.08 0.32方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大（3）令i 表示方案 i 所带来的效益，则1 2方案一所带来的平均效益更大．19．（ 12 分）数列 { a n} 为等差数列， a n为正整数，其前n 项和为 S n，数列且a1 3 ， b11 ，数列{ b a n}是公比为 64 的等比数列， b2S2 64 ．1)求 a n ， b n ；1 1 1 32)求证1 1 1 3．S1 S2 S n 4解答】解：（1）设 {a n} 的公差为 d ，{b n} 的公比为q，则 d 为正整数，b n q n11(11 1 2 3 2 1114351n211 12(1 121n11n2{b n} 为等比数列，a n 3 (n 1)d ，20．（ 12分）如图，正三棱锥 O ABC 的三条侧棱 OA、OB 、OC 两两垂直，且长度均为 2．E 、F分别是AB、 AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF作平面与侧棱 OA 、 OB 、 OC 或其3延长线分别相交于 A1、 B1、 C1，已知 OA1 3．2（1）求B1C1 平面 OAH ；2）求二面角 O A1B1 C1 的大小．解答】解：（1）证明：依题设，EF是 ABC的中位线，所以 EF //BC ，则 EF / / 平面 OBC ，所以 EF / /B1C1 ．又H 是EF 的中点，所以AH EF ，则 AH B1C1 ．因为 OA OB ， OA OC ，所以 OA 面OBC ，则 OA B1C1 ，因此 B1C1 面 OAH ．（2）作 ON A1B1于N ，连 C1N ．因为 OC1 平面 OA1 B1 ，根据三垂线定理知，C1 N A1B1 ， ONC1就是二面角 O A1B1 C1 的平面角．作 EM OB1 于M ，则 EM / /OA ，则M 是 OB 的中点，则 EM OM 1 ．设OB1 x ，由OB1 OA1得，x 3，解得 x 3， MB 1 EM x 1 2在 Rt △ OA1B1中， A1B1OA12 OB12 3 5，则， ON OA1 OB1 32 A1B1 5所以 tan ONC1 OC1 5 ，故二面角 O A1B1 C1为arctan 5 ．1ON1 1 1解法二：(1)以直线 OA、 OC 、 OB分别为x、y、 z轴，建立空间直角坐标系， 11 O xyz则 A(2,0,0), B(0,0,2), C(0,2,0), E(1,0,1),F(1,1,0),H (1, , )22所以 AH ( 1,1, 1),OH (1,1, 1),BC (0,2, 2)22 2 2所以 AH BC 0, OH BC 0所以 BC 平面 OAH ，由 EF / /BC 得 B1C1 / /BC ，故： B1C1 平面 OAH3(2)由已知 A1( ,0,0) ，设 B1(0，0， z)2则 A1E ( 1 ,0,1), EB1 ( 1,0,z 1)1211 由 A1 E与EB1 共线得：存在R有A1E EB1得2 z3 B1(0,0,3)1 ( z 1) 33 同理： C1(0 ，3， 0) ，A1B1 ( ,0,3), A1C1 ( ,3,0)22设n1 (x1,y1, z1 )是平面 A1 B1C1的一个法向量，3x 3z 02则2令 x 2，得 y z 1， n1 (2,1,1) ．31x 3 y 02又 n2 (0,1,0) 是平面 OA1B1 的一个法量 cos n1,n2所以二面角的大小为 arccos 62221．(12 分)设点 P(x0 ，y0 )在直线 x m(y m,0 m 1)上，过点P 作双曲线 x2 y2 1的1两条切线PA、PB ，切点为A、B，定点 M ( ,0) ．m(1)求证：三点A、M 、B共线．(2)过点A作直线 x y 0 的垂线，垂足为 N ，试求 AMN 的重心 G 所在曲线方程．【解答】证明：( 1)设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，2 2 2 2由已知得到 y1 y2 0 ，且 x1 y1 1 ， x2 y2 1 ，设切线PA的方程为：y y1 k(x x1) 由y2y12k(x x1)xy12 2 2得(1 k )x 2k( y1 kx1)x ( y1 kx1) 1 0从而△ 4k2(y1 kx1)2 4(1 k2)(y1 kx1)2 4(1 k2) 0 ，解得k x1y1因此PA 的方程为： y1y x1x 1同理PB的方程为： y2 y x2x 1 又 P(m, y0) 在PA 、PB上，所以 y1y0 mx1 1， y2 y0 mx2 1即点A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 都在直线 y0y mx 1上1又 M ( ,0) 也在直线 y0 y mx 1 上，所以三点A 、M 、B 共线 m2)垂线 AN 的方程为： y y1 x x1 ，设重心 G(x, y)1 1 x1 y1x (x1 1 1 )3m21 x1 y1y 1( y1 0 1 1)32由x12y121可得(3x 3y 1)(3x 3y 1) 2即(x 1 )2y2 2为重心G所在曲线方程m m 3m 922．(14 分)已知函数 f (x) 1 1 ax， x (0, )1 x 1 a ax 81)当 a 8时，求 f(x) 的单调区间；2)对任意正数a ，证明： 1 f (x ) 2 ．【解答】解：(1)当 a 8时， f (x) 1 x 1，求得 f (x) 1 x3 1 x 3 2 x (1 x)3于是当 x (0 ， 1]时， f (x)⋯0 ；而当 x [1， ) 时， f (x), 0 ．即 f (x) 在 (0 ， 1]中单调递增，而在 [1， )中单调递减．2)对任意给定的a 0， x 0，由 f(x) 11x由y y1 x x1xy0 得垂足N(x1 y12x1 y1)2所以9 x 3y解得x19yy1413xm若令 b 8 ，则 abx 8①，且 f ( x) ax 一 )先证 f ( x) 1:因为1 1， 1 11 x 1 x 1 a 1 a 又由2 a b x 厖2 2a 2 bx 4 4 2abx 8，得 a b x ⋯6．1 1 1 1 1 1 所以 f (x )1 x 1 a 1 b 1 x 1 a 1 b3 2(a b x) (ab ax bx) ⋯9 (a b x) (ab ax bx)(1 x)(1 a)(1 b) (1 x)(1 a )(1 b) 1 (a b x) (ab ax bx) abx1．b 的对称性，不妨设 x 厖a b ，则 0 b, 2 ．即证 ab 8 (1 a)(1 b)，即证 a b 7 ．据③ 可得此式显然成立，因此 ⑦得证． 再由 ⑥可得 f (x) 2 ．综上所述，对任何正数 a ， x ，皆有 1 f (x) 2 ．5 分)函数 y tan x sin x | tan x sin x | 在区间 ( , 3 )内的图象是( )212．(5分)已知函数 f(x) 2mx 2 2(4 m)x 1，g(x) mx ，若对于任一(1 x )(1 a )(1 b)二 ) 再证 f (x) 2: 由① 、 ②式中关于ⅰ) 当 a b ⋯7 ，则 a ⋯5，所以 x 厖a 5 ， 因为 1 1b 1，此时， 111f (x)1 x 1 a 1 b 2．a b 7 ③ ，由 ① 得， x 8ab 1 xab ，ab 81 bb 2 b 1 2 [1 1 b 1 b 4(1 b)2同理得 1 1 a ⑤ ． 2(1 a)a b 2 ab ) ⑥．因为1a1 f (x)2 12(1今证明a b 1 a 1 bab ab 8⑦：ab 因为a b ⋯21 a 1 b (1 a)(1 b) 2(1 b)]，所以1 b 12(1 b)④，，故只要证ab ab ，(1 a)(1 b) ab 8实数x，f(x) 与 g(x) 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ( )A． (0,2) B． (0,8) C． (2,8)D． ( ,0)二、填空题(共4小题，每小题4分，满分16 分)13．(4分)直角坐标平面上三点 A(1,2) 、 B(3, 2) 、 C (9,7) ，若E、F为线段 BC的三等分点，则 AE AF ．x x31 114．(4分)不等式 2 x , 1的解集为．215．( 4分)过抛物线 x2 2py(p 0)的焦点F 作倾斜角为 30 的直线，与抛物线分别交于A、B 两点(点A 在y轴左侧)，则| AF |．|FB|16．( 4 分)如图( 1)，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器由 2sin B cosC sin A 得 2sin B cosC sin( B C)。