2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2014年北京，理1，5分】已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B =I （ ）（A ）{0} （B ）{0,1} （C ）{0,2} （D ）{0,1,2} 【答案】C【解析】集合{}{}2|2002A x x x =-==,．故{}02A B =I ,，故选C ． （2）【2014年北京，理2，5分】下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）（A ）1y x =+ （B ）2(1)y x =- （C ）2x y -= （D ）0.5log (1)y x =+【答案】A【解析】对于A ，1y x =+在[)1-+∞，上为增函数，符合题意，对于B ，2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意，对于C ，2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意，对于D ，0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意，故选A ．（3）【2014年北京，理3，5分】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）（A ）在直线2y x =上 （B ）在直线2y x =-上 （C ）在直线1y x =-上 （D ）在直线1y x =+上【答案】B【解析】参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，故选B ．（4）【2014年北京，理4，5分】当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）7 （B ）42 （C ）210 （D ）840 【答案】C【解析】当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ．（5）【2014年北京，理5，5分】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）（A ）充分且不必要条件 （B ）必要且不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列．故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >．综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D ．（6）【2014年北京，理6，5分】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）（A ）2 （B ）2- （C ）12 （D ）12- 【答案】D【解析】若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <，则不等式组所表示的平面区 域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解x +y -2=0-2kkx -y +2=022Oy x得12k =-，故选D ．（7）【2014年北京，理7，5分】在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若1S ，2S ，2S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） （A ）123S S S == （B ）12S S =且31S S ≠ （C ）13S S =且32S S ≠ （D ）23S S =且13S S ≠ 【答案】D【解析】D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，，故23S S ==D ．（8）【2014年北京，理8，5分】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”，现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一 样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格．显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 的也最多只有1个，得C 的也最多只有1个，因此学生最多只有3个．显然，（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多3个，故选B ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2014年北京，理9，5分】复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭．【答案】1-【解析】复数21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2++===--+，故221i ()i 11i+==--．（10）【2014年北京，理10】已知向量a r 、b r 满足1a =r，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r ，则λ= ．【解析】由0a b λ+=r r r ，有b a λ=-r r，于是||||||b a λ=⋅r r ，由(21)b =r ，，可得b =r ||1a =r ，故||λ= （11）【2014年北京，理11，5分】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为______． 【答案】221312x y -=，2y x =±【解析】双曲线2214y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±，设C ：224y x m -= 并将点(22)，代入C 的方程，解得3m =-，故C 的方程为2234y x -=-，即221312x y -=．（12）【2014年北京，理12，5分】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8【解析】由等差数列的性质，78983a a a a ++=，71089a a a a +=+，于是有80a >，890a a +<，故90a <．故87S S >，98S S <，8S 为{}n a 的前n 项和n S 中的最大值． （13）【2014年北京，理13，5分】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种． 【答案】36【解析】先只考虑A 与产品B 相邻．此时用捆绑法，将A 和B 作为一个元素考虑，共有4424A =种方法．而A 和B 有2种摆放顺序，故总计242=48⨯种方法．再排除既满足A 与B 相邻，又满足A 与C 相邻的情况，此时用捆绑法，将A B C ，，作为一个元素考虑，共有33A 6=种方法，而A B C ，，有2种可能的摆放顺序，故总计62=12⨯种方法．综上，符合题意的摆放共有481236-=种．（14）【2014年北京，理14，5分】设函数()sin()f x x ωφ=+，0A >，0ω>若()f x 在学科网区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为________． 【答案】π【解析】由()f x 在区间ππ62⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且ππ26f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，()f x 有对称中心π03⎛⎫, ⎪⎝⎭，由π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 有对称轴1π27ππ22312x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，记T 为最小正周期，则1ππ2π2263T T -⇒≥≥，从而7πππ1234TT -=⇒=． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2014年北京，理15，13分】如图，在ABC ∆中，3B π∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=． （1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长． 解：（1）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin ADC ∠=．所以4311333sin sin()sin cos cos sin 27BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠=⨯-⨯=． （2）在ABD ∆中，由正弦定理得338sin 143sin 43AB BADBD ADB⨯⋅∠===∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222212cos 85285492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以7AC =． （16）【2014：场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4238客场41815主场5 24 20 客场5 25 12（1 （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6概率；（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较()E X 与x 的大小（只需写出结论）解：（1）李明在该场比赛中命中率超过0.6的概率有：主场2 主场3 主场5 客场2 客场4所以李明在该场比赛中投篮命中超过0.6的概率51102P ==．（2）李明主场命中率超过0.6概率135P =，命中率不超过0.6的概率为1215P -=，客场中命中率超过0.6概率225P =，命中率不超过0.6的概率为2315P -=．332213555525P =⨯+⨯=． （3）()E X x =．（17）【2014年北京，理17，14分】如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点,G H ． （1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且AF PE ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，求线段PH 的长． 解：（1）Q AM ED //，AM ⊄面PED ，ED ⊂面PED ．∴AM ∥面PED ．Q AM ⊂面ABF ，即AB ⊂面ABF ，面ABF I 面PDE FG =∴AB FG ∥．（2）如图建立空间直角坐标系A xyz -，各点坐标如下()0,0,0A ,()0,2,0E ,()1,0,0B ,()2,1,0C ,()0,1,1F ,()0,0,2P ，设面ABF 的法向量为()000,,n x y z =r ，()1,0,0AB =u u u r，()0,1,1AF =u u u r ，00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u ur ，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，∴()0,1,1n =-r ，又Q ()1,1,0BC =u u u r ， ∴1sin ,222BC n ==⨯u u u r r，直线BC 与平面ABF 所成的角为π6．设()111,,H x y z ，由PH tPC =u u u r u u u r ，则()()111,,22,1,2x y z t -=-∴111222x ty tz t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩ ∴()2,,22H t t t -，又Q H ∈面ABF ，()21,,22BH t t t =--u u u r，∴0n BH ⋅=r u u u r ，∴220t t +-=，∴23t =，∴422,,333H ⎛⎫⎪⎝⎭，∴424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r∴2224242333PH ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r ．（18）【2014年北京，理18，13分】已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈．（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．解：（1）()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，π02x ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，从而()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()()00f x f =≤．（2）解法一：当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”，令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当1c ≥时，因为对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减．从而()()00g x g <=对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x c '=-=，且当()00x x ∈,时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0π2x x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减．所以()()000g x g >=．z yx ABCDEFG PMH进一步，“()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．所以若sin x a b x <<对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立，则a 最大值为2π，b 最小值为1． 解法二：令()sin π02x g x x x ⎛⎤=,∈, ⎥⎝⎦，则()2cos sin x x x g x x ⋅-'=，由⑴知，()0g x '≤，故()g x 在π02⎛⎤, ⎥⎝⎦上单调递减，从而()g x 的最小值为π22πg ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2πa ≤，a 最大值为2π，b 最小值为1，下面进行证明：()sin h x x bx =-，π02x ⎡⎫∈,⎪⎢⎣⎭，则()cos h x x b '=-，当1b =时，()0h x '≤，()h x 在π02⎡⎫,⎪⎢⎣⎭上单调递减，从而()()max 00h x h ==，所以sin 0x x -≤，当且仅当0x =时取等号．从而当π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，sin 1x x <．故b 的最小值小于等于1．若1b <，则()cos 0h x x b '=-=在π02⎛⎫, ⎪⎝⎭上有唯一解0x ，且()00x x ∈,时，()0h x '>，故()h x 在()00x ,上单调递增，此时()()00h x h >=,sin sin 0xx bx b x->⇒>与恒成立矛盾，故1b ≥，综上知：b 的最小值为1．（19）【2014年北京，理19，14分】已知椭圆22:24C x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．解：（1）由题意，椭圆C 的标准方程为2212x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c = 故椭圆C 的离心率c e a ==．（2）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下：解法一：设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB⋅=u u u r u u u r，即0020tx y +=，解得002y t x =-．当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C 的方程，得t =故直线AB 的方程为x =圆心O 到直线AB 的距离d =．此时直线AB 与圆222x y +=相切．当0x t ≠时，直线AB 的方程为()0022y y x t x t --=--，即()()0000220y x x t y x ty ---+-=．圆心O 到直线AB 的距离d=．又220024x y +=，02y t x =-， 故d ===AB 与圆222x y +=相切．解法二：由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k，则直线OA 的方程为y kx =，OA OB ⊥，①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=，原点到直线AB AB 与圆222x y +=相切；②当0k≠时，直线OB的方程为1y xk=-，联立2224y kxx y=⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫,或⎛⎫⎝；联立12y xky⎧=-⎪⎨⎪=⎩得点B的坐标()22k-,，由点A的坐标的对称性知，取点A⎛⎫计算，直线AB的方程为：))2222y x k x kk-=+=++，即((21220k x y k-+++=，原点到直线AB距离d==，此时直线AB与圆222x y+=相切．综上知，直线AB一定与圆222x y+=相切．解法三：①当0k=时，()20A±,，易知()02B,，此时22OA OB=,=，AB=，原点到直线AB的距离OA OBdAB⋅===AB与圆222x y+=相切；②当0k≠时，直线OB的方程为1y xk=-，设()()1122A x yB x y,,,，则1OA，2OB==，联立2224y kxx y=⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫或⎛⎫⎝；于是AOA=，OB=，21kAB+=OA OBdAB⋅===直线AB与圆222x y+=相切；综上知，直线AB一定与圆222x y+=相切．（20）【2014年北京，理20，13分】对于数对序列1122(,),(,),,(,)n nP a b a b a bL，记111()T P a b=+，112()max{(),}(2)k k k kT P b T P a a a k n-=++++≤≤L，其中112max{(),}k kT P a a a-+++L表示1()kT P-和12ka a a+++L两个数中最大的数．（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P，求12(),()T P T P的值；（2）记m为,,,a b c d四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d组成的数对序列(,),(,)P a b c d和'(,),(,)P a b c d，试分别对m a=和m d=的两种情况比较2()T P和2(')T P的大小；（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使5()T P最小，并写出5()T P的值．（只需写出结论）．解：（1）()1257T P=+=,()(){}{}211max241max768T P T P=+,+=+,=．（2）当m a=时：()1T P a b=+，(){}{}2max maxT P d a b a c a d b c=++,+=++,；()1T P c d'=+，(){}{}2max maxT P b c d c a b c a d b c d'=++,+=++,=++；因为a是a b c d,,,中最小的数，所以{}maxa b c b c+,+≤，从而()()22T P T P'≤；当m d=时，()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d a b c '=++,+=++,=++；因为d 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max d b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤． 综上，这两种情况下都有()()22T P T P '≤．（3）数列序列:P ()4,6，()11,11，()16,11，()11,8，()5,2的()5T P 的值最小；()110T P =，()226T P =，()342T P =，()450T P =，()552T P =．。