培优点四 恒成立问题1．参变分离法例1：已知函数()ln af x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________． 【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln ax x x x a x a x x x x-<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞， ∴只需要()3maxln a x x x >-．令()3ln g x x x x =-，()'21ln 3g x x x =+-，()'12g =-，()2''11660x g x x x x-=-=<，()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减，()()11g x g ∴<=-，1a ∴≥-．2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的图像，a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一步可得只需π4x =时，log sin 2a x x >， 即πππlog sin 21444a a >⋅=⇒>，所以π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________． 【答案】e 1a ≥-【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+，∴只需()min 0g x >即可，()10g =， ()'1a a x g x x x -=-=，令()'00a xg x x a x->⇒>⇒<（分析()g x 的单调性）当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <=(思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）当1a >时，分x a =是否在()1,e 中讨论（最小值点的选取） 若1e a <<，单调性如表所示()()10e 1e 0g a g ⎧≥⎪∴⇒≥-⎨≥⎪⎩，e 1e a ∴-≤<．（1）可以比较()1g ，()e g 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在1x =，e x =处取得，所以让它们均大于0即可．（2）由于1x =，e x =并不在()1,e 中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若e a ≥，则()g x 在()1,e 上单调递增，()()10g x g ∴>=，符合题意， 综上所述：e 1a ≥-．一、选择题1．已知函数()()2ln 1,03,0x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[]2,1-C ．[]0,3D ．[)3,+∞【答案】B 【解析】若()()20f x m x -+≥，即有()()2f x m x ≥+，分别作出函数()f x 和直线()2y m x =+的图象，由直线与曲线相切于原点时，()23'23x x x +=+，则23m +=，解得1m =， 由直线绕着原点从x 轴旋转到与曲线相切，满足条件． 即有023m ≤+≤，解得21m -≤≤．故选B ．对点增分集训2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()3,11- B ．()3,11C ．[]3,11D ．[]2,7【答案】C【解析】由题意可得：()()()2'344232f x x x x x =--+=-+-，令()'0f x =可得：12x =-，223x =，且：()33f -=-，()28f -=-，240327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()333f =-， 据此可知函数()f x 在区间[]3,3-上的最小值为33-， 结合恒成立的条件可得：21433m m -≤-，求解关于m 的不等式可得实数m 的取值范围是[]3,11．本题选择C 选项．3．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．()2,-+∞C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】()21212ax f x ax x x ='+=+，2210ax +>在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，所以2max 12a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由于1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2112,28x ⎛⎫⎛⎫-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以18a ≥-，故选D ．4．已知对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2e xa x >恒成立（其中e 2.71828=，是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A ．e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),2e -∞-D ．24,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由2e x ax >得2ln x x a >在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即12ln x a x >在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．令()2ln x f x x =，21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()221ln 'x f x x -=， ∴当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()'0f x >，()f x 单调递增，当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，()'0f x <，()f x 单调递减． ∴()()max 2e e f x f ==，∴()12e e f a >=，∴e02a <<．故实数a 的取值范围是e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭．故选A ．5．已知函数()2e x f x x =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)e,+∞D ．()e,+∞【答案】D【解析】若()m f x >恒成立，则()max m f x >，()()'22e e 2e x x x f x x x x x =+=+，所以()f x 在()1,0-单调递减，在()0,1单调递增．()11ef -=，()1e f =，所以e m >．故选D ．6．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]5,3-- B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--【答案】C【解析】[)2,0x ∈-时，恒成立不等式等价于2343x x a x --≤，23min43x x a x ⎛⎫--∴≤ ⎪⎝⎭， 设()2343x x f x x --=，()()()()()3222'644243439189x x x x x x x x x f x x x x -----+-++∴===-， [)2,0x ∈-，()f x ∴在[]2,1--单调递减，在()1,0-单调递增，()()min 12f x f ∴=-=-，当0x =时，可知无论a 为何值，不等式均成立，当(]0,1x ∈时，恒成立不等式等价于2343x x a x --≥，23max43x x a x ⎛⎫--∴≥ ⎪⎝⎭，同理设()2343x x f x x --=，()()()'491x x f x x -+∴=-，()f x ∴在()0,1单调递增， ()()max 16f x f ∴==-，6a ∴≥-，综上所述：[]6,2a ∈--．故选C ．7．函数()2e 1xf x x =-+，若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则实数m 的范围是（ ）A ．21e 5,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．1e,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则在(]00,2x ∈内()min f x m <即可，()2e 1xf x x =-+，()()()()()222222e 1e 2e 1011x x x x x x f x x x +--=-=-<++⋅'， 故()f x 在(]0,2上单调递减()()2min 1 2e 5f x f ==-，21e 5m ∴>-，故选A ．8．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】()f x 的定义域是()0,+∞，()11axf x a x x'+=+=， 当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增，且()10f a =≥， 故存在()00,x ∈+∞，使()00f x >；当0a <时，令()0f x '>，解得10x a <<-，令()0f x '<，解得1x a>-，()f x ∴在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()max 11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫∴=-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1e a >-．综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选D ．9．若对于任意实数0x ≥，函数()e x f x ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),e -∞B ．(],e -∞-C ．[)e,+∞D ．()e,-+∞【答案】D【解析】当0x ≥时，()e 0x f x ax =+>恒成立，∴若0x =，a 为任意实数，()e 0x f x ax =+>恒成立，若0x >时，()e 0x f x ax =+>恒成立，即当0x >时，e x a x>-恒成立，设()e x g x x =-，则()()221ee e xx x x x g x x x --=-='， 当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,1上单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在()1,+∞上单调递减， ∴当1x =时，()g x 取得最大值为e -．则要使0x ≥时，()e 0x f x ax =+>恒成立，a 的取值范围是()e,-+∞，故选D ．10．已知函数()()()3f x a x a x a =-++，()22x g x =-，若对任意x ∈R ，总有()0f x <或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞-B ．()4,0-C ．[)4,0-D ．()4,-+∞【答案】B【解析】由()220x g x =-<，得1x <，故对1x ≥时，()0g x <不成立， 从而对任意1x ≥，()0f x <恒成立，因为()()30a x a x a ⋅-⋅++<，对任意1x ≥恒成立，如图所示，则必有0131a a a <<-<⎧⎪⎨⎪⎩-，计算得出40a -<<．故选B ．11．已知函数()e xf x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞ B ．(),e -∞C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】不等式()()12210f x f x x x -<，即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立， 构造函数()()2e x g x xf x ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'e 20xg x ax =-≥恒成立，即e 2xa x ≤恒成立，令()()e 02xh x x x=>，则()()2e 1'2x x h x x -=，当01x <<时，()'0h x <，()h x 单调递减；当1x >时，()'0h x >，()h x 单调递增；则()h x 的最小值为()1e e 1212h ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．本题选择D 选项．12．设函数()()e 31x f x x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（ ）A ．23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】设()()e 31x g x x =-，()h x ax a =-，则()()e 3+2x g x x '=，∴当2,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 单调递减；当2,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴当23x =-时，()g x 取得最小值2323e 3g -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．如下图所示．又()()112e 0g h -=>，故()()11g h >； ()()0010g h a -=-+<，故()()00g h <．故当00x =时，满足()0g 在直线()h x ax a =-的下方．∵直线()h x ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，∴要使得有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，只需()()1114e 20g h a ----=-+>，∴2ea >， 又1a <，∴实数a 的取值范围2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选C ．二、填空题13．设函数()f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的x ∈R ，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[)1,-+∞ 【解析】法一：如图，因为()()f x g x ≥恒成立，则()y f x =的图像在()y g x =的上方（可以有公共点）， 所以1a -≤即1a ≥-，填[)1,-+∞．法2：由题设有1x a x +≥-． 当1x ≤时，a ∈R ；当1x >时，有1x a x +≥-恒成立或1x a x +≤-+恒成立， 故1a ≥-或a φ∈即1a ≥-，填[)1,-+∞．14．函数()ln 1f x x x ax =-+，其中a ∈R ，若对任意正数x 都有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为____________． 【答案】](,1 -∞【解析】对任意正数x 都有()0f x ≥，即不等式1ln a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭对于()0,x ∈+∞恒成立．设()1ln g x x x =+，则()22111'x g x x x x-=-=． 故()g x 在()0,1上是减函数，在[)1,+∞上是增函数，所以()g x 的最小值是()11g =，所以a 的取值范围是](,1 -∞．15．已知函数()21ln 22f x x ax x =--，若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(],1-∞-【解析】根据函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()1'20f x ax x =--≥在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即2120ax x x --≥在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以2120ax x --≥恒成立， 即2212111a x x x ⎛⎫≤-=-- ⎪⎝⎭在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以1a ≤-， 故实数a 的取值范围是(],1-∞-．16．已知关于x 的不等式21log 02m mx x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-在[]1,2上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【答案】153,,282⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】①当01m <<时，函数()21log 2m f x mx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭外层单调递减， 内层二次函数：当112m <，即112m <<时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减， ()()min 32log 402m f x f m ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，解得1528m <<； 当112m=，即12m =时，()1f 无意义； 当1122m <<，即1142m ≤<时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减， 则需()10f <，()20f <，无解；当122m ≥，即104m <≤时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增， ()()min 11log 02m f x f m ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，无解． ②当1m >时，函数()21log 2m f x mx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭外层单调递增， 1122m <，二次函数单调递增，函数单调递增， 所以()()min 11log 02m f x f m ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，解得：32m >． 综上所述：1528m <<或32m >．三、解答题17．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R ，（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）01a ≤≤．【解析】（1）()()()2ln 1f x x a x x =++-，定义域为()1,-+∞， ()()()()2211112121111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++， 设()221g x ax ax a =++-，当0a =时，()1g x =，()101f x x '=>+，函数()f x 在()1,-+∞为增函数，无极值点． 当0a >时，()228198Δa a a a a =--=-， 若809a <≤时0Δ≤，()0g x ≥，()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞为增函数，无极值点． 若89a >时0Δ>，设()0g x =的两个不相等的实数根1x ，2x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而()110g -=>，则12114x x -<<-<， 所以当()11,x x ∈-，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当()12,x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增．因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0Δ>，但()110g -=>，11x <-，所以当()21,x x ∈-，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减．所以函数只有一个极值点．综上可知，当0a <时()f x 有一个极值点；当809a ≤≤时()f x 的无极值点；当89a >时，()f x 的有两个极值点． （2）由（1）可知当809a ≤≤时()f x 在()0,+∞单调递增，而()00f =， 则当()0,x ∈+∞时，()0f x >，符合题意； 当819a <≤时，()00g ≥，20x ≤，()f x 在()0,+∞单调递增，而()00f =，则当()0,x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当1a >时，()00g <，20x >，所以函数()f x 在()20,x 单调递减，而()00f =， 则当()20,x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，当()0,x ∈+∞时()11011x h x x x '=-=>++， ()h x 在()0,+∞单调递增，因此当()0,x ∈+∞时()()00h x h >=，()ln 1x x +<， 于是()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时()210ax a x +-<， 此时()0f x <，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．18．设函数()2e mx f x x mx =+-， （1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意1x ，[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[]1,1m ∈-．【解析】()'e 2mx f x m x m =+-，注意到()'00f =，于是再求导得，()2e 2mx f x m ''=+，由于()0f x ''>，于是()f x '为单调递增函数，(),0x ∴∈-∞时，()'0f x <，()0,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x ∴在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增．（2）若不等式()()12e 1f x f x -≤-恒成立，则()()12max e 1f x f x -≤-，()f x 在[]1,1-连续，()f x ∴在[]1,1-有最大最小值，()()()()12max min max f x f x f x f x ∴-=-，由（1）可知()f x 在()1,0-单调递减，在()0,1单调递增，()()min 01f x f ∴==，()()(){}{}max 1,1e 1,e 1m m f x f f m m -=-=+-++，()()()()10e 1e e 110e 1e e 1m m f f m f f m -⎧-≤-⎧-≤-⎪⎪∴⇒⎨⎨--≤-+≤-⎪⎪⎩⎩， 设()e e 1x h x x =--+，()'e 1x h x =-，()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增()10h =，()112e 0eh -=+-<，故当[]1,1x ∈-时，()0h x ≤， 当[]1,1m ∈-时，()0h m ≤，()0h m -≤，则上式e e 1e e 1m m m m -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩成立． 当1m >时，由()h x 的单调性，()0h m >，即e e 1m m ->-，当1m <-时，()0h m ->，即e e 1m m -+>-，综上，m 的取值范围为[]1,1-．。