2019年上海高考数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分） 1．函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= . 2. 若全集U R =，集合{1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = .3.设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = . 4.不等式13x x+≤的解为 . 5.在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 . （结果用反三角函数值表示）6.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离为 千米.7.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 . 8.函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为 . 9.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：x1 2 3 ()P x ξ=！请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能断定这两个“”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E ξ= .10.行列式(,,,{1,1,2})a b a b c d c d∈-所有可能的值中，最大的是 .11.在正三角行ABC 中，D 是BC 上的点.若AB =3，BD =1，则AB AD = . 12.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到）.13. 设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 .14.已知点O (0,0)、Q 0(0,1)和点R 0(3,1)，记Q 0R 0的中点为P 1，取Q 0P 1和P 1R 0中的一条，记其端点为Q 1、R 1，使之满足()()11||2||20OQ OR --<，记Q 1R 1的中点为P 2，取Q 1P 2和P 2R 1中的一条，记其端点为Q 2、R 2，使之满足()()22||2||20OQ OR --<.依次下去，得到12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P →∞= .二、选择题（每小题5分，满分20分）15. 若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）（A ）222a b ab +>. （B ）2a b ab +≥. （C ）112a b ab+>. （D ）2b a a b +≥. 16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） （A ）1ln||y x =. （B ）3y x =. （C ）||2x y =. （D ）cos y x =. 17. 设12345,,,,A A A A A 是平面上给定的5个不同点，则使12345MA MA MA MA MA ++++0=成立的点M 的个数为（ ）（A ）0. （B ）1. （C ）5. （D ）10.18.设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件是（ ）（A ）{}n a 是等比数列. （B ）1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列. （C ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列.（D ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同.三、解答题（本大题满分74分） 19．（本大题满分12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是O 1D 1C 1B 1A 1CDBA实数，求2z ．20.（本大题满分12分，第1小题满分4分，第二小题满分8分）已知函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0a b ⋅≠ （1）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；（2）若0a b ⋅<，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围． 21. （本大题满分14分，第1小题满分6分，第二小题满分8分）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 为11A C 与11B D 的交点. （1）设1AB 与底面1111A B C D 所成角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β.求证：tan 2tan βα=；（2）若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的高.22.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*)n N ∈.将集合{,*}{,*}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c（1）写出1234,,,c c c c ；（2）求证：在数列{}n c 中，但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ；（3）求数列{}n c 的通项公式.23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l（1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ；（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积；（3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组.对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --. ②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---. ③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D .2019年上海高考数学试题（理科）答案一、填空题 1、12x +；2、{|01}x x <<；3、16；4、0x <或12x ≥；5、25arccos 5；66；7、33； 8、234+；9、2；10、6；11、152；12、0.985；13、[15,11]-；143。
二、选择题15、D ；16、A ；17、B ；18、D 。
三、解答题19、解： 1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-………………（4分）设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-，………………（12分） ∵ 12z z R ∈，∴ 242z i =+ ………………（12分） 20、解：⑴当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+-∵ 121222,0(22)0xxxxa a <>⇒-<，121233,0(33)0xxxxb b <>⇒-<， ∴ 12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数。
当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数。
⑵ (1)()2230x xf x f x a b +-=⋅+⋅>当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-。
21、解：设正四棱柱的高为h 。
⑴ 连1AO ，1AA ⊥底面1111A B C D 于1A ，∴ 1AB 与底面1111A B C D 所成的角为11AB A ∠，即11AB A α∠=∵ 11AB AD =，1O 为11B D 中点，∴111AO B D ⊥，又1111A O B D ⊥， ∴ 11AO A ∠是二面角111A B D A --的平面角，即11AO A β∠=∴ 111tan AA h A B α==，111tan AA AO βα===。
⑵ 建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)A h B D C h11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)AB h AD h AC =-=-=设平面11AB D 的一个法向量为(,,)n x y z =，∵ 111100n AB n AB n AD n AD ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇔⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩，取1z =得(,,1)n h h =∴ 点C 到平面11AB D 的距离为2||43||n AC h d n h ⋅===，则2h =。
22、⑴ 12349,11,12,13c c c c ====；⑵ ① 任意*n N ∈，设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=② 假设26627n k a n b k =+==+⇔*132k n N =-∈（矛盾），∴ 2{}n n a b ∉B 1D 1B D∴ 在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a 。
⑶ 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+∵ 63656667k k k k +<+<+<+∴ 当1k =时，依次有111222334,,,b a c b c a c b c =====，……∴ *63(43)65(42),66(41)67(4)n k n k k n k c k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩。
23、解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则||5)PQ x ==≤≤，当3x =时，min (,)||d P l PQ ==⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成12:1(||1),:1(||1)l y x l y x =≤=-≤，222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥其面积为4S π=+。