《一类恒成立、存在性函数问题的化归》教学设计一类恒成立、存在性函数问题的化归“恒成立”与“存在性”问题起源于全称量词与存在量词“任意”[知识点的地位作用]:1、与“存在”，是函数、方程、数列与不等式的结合点之一，也是培养数学能力的良好素材，同时也是高考的重点与热点。
2、此节内容是在学生学习完高一函数这一章后的一个专题讲座，目的是通过本节的学习，进一步深化对函数的认识，领悟数形结合的魅力。
培养学生各种数学语言的相互转化的能力。
3、此内容共两个课时，此为第一课时。
1、知识目标:让学生初步能用最值及值域解决一类函数的恒成立、存在性问题。
[教学目标]:,、能力目标:培养学生的观察力，分析、解决问题的能力。
归纳概括能力3 、情感目标:通过本节学习，让学生体会的转化、化归的数学思想，享受数学中的灵动与和谐之美。
对不同题型，能熟练地转化为不同的最值与值域问题。
[教学重点]:用化归思想灵活转化问题。
[教学难点]:通过生活语言与数学语言对比结合，深入浅出地处理好本节重难点。
并通过多种数学[创新点]:语言巩固，促进学生理解，加深学生印象。
,、活动形式:问答、讨论、思考、总结。
[活动设计]:powerpoint,、教具:投影仪，软件(几何画板，)，课件[教学设计]: 第一课时一、引入:,抛出问题,由学生近期例1:不等式|x-1|-|x+3|,a对于x?R恒成立,求a的取值范围的易错题及变式题引入～.并让学生知道～这类问题变式1:存在 x?R，使得不等式 |x-1|-|x+3|>a成立, 则a的取是高考的热点和重点～但值范围是 .我们学习本节知识后～将会非常轻松地解决这几道变式2:方程|x-1|-|x+3|=a有解，则a 的取值范围是题。
激发学生的好胜心与求. 知欲 .二、新课:1、现实生活中存在与恒成立问题:“1)在某次考试中，我们班有同学数学分数大于,,,分最高分大于,,,分。
“2)在某次考试中，我们班每一位同学数学分数都高于,,分最低分大于,,分。
1“3)在某次考试中，我们班同学数学成绩没有高于130分的最高分小于等于130分。
,语言对比,由现实生活中的口语来分析和理解现实生活中的一些恒成立问题和有解问题。
提高学生学习兴趣～加强学生学习好这节内容的信心～让学生理解数学来源于生活～又高于生活。
2对x?D,f(x)?[m,n]有:,、推理:,,推理目的,让学生体验1)、符号语言:不等式f(x)>a，x?D恒成立从现实生活中的“都”和f(x)>amin“有”与到数学语境中的, 图象语言:y=f(x),x?D的图象在直线y=a的上方最低“任意”和“存在”之间的联系～再向“恒成立”,点都在直线y=a的上方f(x)>amin和“有解”的转化。
深入浅出地处理了本节课的一个, 日常用语:每一个f(x)值都大于af(x)>amin难点。
,推理意义,让学生理解,2)、符号语言:存在 x?D,使得不等式f(x)>a不等式生活中的“都”和“有”,“f(x)>a，x?D，有解不等式f(x)>a，x?D，解集非空最终向取值的最高最大和最低最小的转化～把复杂f(x)>amax的对所有元素或部分元素的研究～转化到了对最值, 图象语言:y=f(x),x?D的图象有点在直线y=a的上方的研究。
体现了将复杂问题简单化～将未知问题已知,最高点都在直线y=a的上方f(x)>amax化的化归思想, 日常用语:有f(x)值比a大f(x)>amax,推理思路,从符号语言、图形语言和生活的日常用语三种不同角度来分析和,3)、方程f(x)=a, x?D有解(解集非空) 解决和理解问题。
并让学生自己动手来分析和理解后a?{f(x)| x?D}两个问题～提高学生动手能力～加深学生对三种语,言的理解和转化。
图象语言:y=f(x),x?D的图象与直线y=a有交点a?{f(x)| x?D},推理手段,老师口语表述～由学生转化为符号语言～利用几何画板～展示, 日常用语:求函数a=f(x)，x 的值域?Da?{f(x)| 图象特点～构建问题～引导学生推导图象关系。
x?D}对x?D,f(x)?[m,n]有:？、结论:,、恒成立问题,符号语言:函数f(x)>a，x?D恒成立f(x)>amin3, 函数f(x)?a，x?D恒成立f(x)?amax2、存在性问题,符号语言:存在 x?D,使得函数f(x)>af(x)>a思考:若对maxx?D,f(x)? ( m,, 存在 x?D,使得函数f(x)?af(x)?amin n )又有怎么样的结论呢,3、有解问题由学生得出结论。
符号语言:不等式f(x)>a, x?D有解(解集非空), f(x)>a并提出课后思考题～若max函数无最值～又应该怎, 不等式f(x)<a, x?D解集为空集么样来转化～得到什么f(x)?amin样的结论。
, 方程f(x)=a, x?D有解(解集非空)a?{f(x)| x?D}4、例题讲解:例1:不等式|x-1|-|x+3|,a对于x?R恒成立,求a的取值范围.,解决问题,现在由学生回答开课时抛出的一例四变式1:存在 x?R，使得不等式 |x-1|-|x+3|>a成立, 则a的取值变式的转化形式～引导学范围是 .生享受胜利的喜悦～感受成变式2:方程|x-1|-|x+3|=a有解，则a 的取值范围是功收获～增强学习数学的信. 变式3:|x-1|-|x+3|? a解集不空, 则a的取值范围是 .心。
变式4:不等式 |x-1|-|x+3| ? a解集为空集, 则a的取值范围是 .2 例2::已知函数f(x)=x-ax+a,若存在x?[-1,2]使得f(x)>0,试?求实数a的取值范围。
a?R让学生尝试转化有解问题。
解:法一:f(1)=1>0，所以对a?R,均存在x?[-1,2]使得f(x)>0.1、对有同学思考到法一～要认真对待并鼓励学生的发散法二:原题同解于:当x?[-1,2]时，f(x),,,即:max 思维。
并趁机再次阐述此法 f(-1)>0或f(2)>0对存在与任意两类问题解决的区别。
即此法对任意性问代入可得:1+2a>0或,,a>0题行吗, a>-0.5或a<44用投影仪打出某学生用根的分布解决问题的方法～两方法比较。
2让同学比较此题的有解问题例3:方程x-,x+,,a,,在区间(,，,)内有解，则实数a与上题的有解问题的区别的取值范围是。
初步引入分离变量法的分2 解:原题同解于:a,x-,x+,，x?(,，,)的值域。
离变量的思想。
为后题做准备。
2 a,(x,,) +,?a?[f(1)，f(3))即a?[,，,)+??+?x, mx x (0,),2+?+,例4:A={x|x-mx+1? 0},B=R,A?B=B, 求,的取mx ()分离变量法x值范围。
m?,引导学生把问题 2???分析:A?B=B可得BA。
即:x>0时, x-mx+1 ? 0转化为恒成立问题后由法一,,,0学生自己先做～观察学?>:生作题情况～看是否有0,同学用二次方程根的分?,,,m0 解略布解题～有则用投影出,f(0)0?来～以备以两种方法做: 比较。
2法二:原题同解于:x-mx+1 ? 0在(0,+?)上恒成立, 求,的取值范围。
2例5:不等式ax-x-a+1<0对满足|a|?2的所有a都成立，求,的取值范围。
2此题难度加大～通过构建分析: 对f(x)= ax-x-a+1而言，已知参数范围，求定义新的题型～让学生自己分域。
析理解～找到此题上前面2 设g(a)=(x-1)a-x+1<0 -2? a?2,则转化为已知定义试题的相同点与相异点～域求参数范围。
即:发现矛盾所在～并转化矛盾。
让学生感受数学中的<:g(-2),矛盾与统一的辩证思想～, 数学中简洁明快的数学之<g(2),:美。
5成都市新都香城中学:邵成林一、5、恒成立、存在性、有解问题的转化方法。
小结:二、分离变量方法三、端点取值。
四、数形结合思想。
2思考题:1.已知不等式(a-2)x+2(a-2)x-4<0,对一切实数恒成立，求a的取值范围。
22.关于x的不等式2x-9x+m?0在区间, 2,3,上恒成立，求实数m的取值范围.八、[板书设计]:(备注:其它部分未板书部分，如复习，引入，新课都流程，均设计在课件内) 一类函数的恒成立、存在性化归1、恒成立问题例1: 例2: 例4:2、存在性问题式3、有解问题变式:1~4 例3 : 例5:九、[作业]:21(1-m)x+(m-1)x+3>0 例、对于不等式1| x | ?2当，上式恒成立，求实数m的取值范围 ;2| m | ?2.当，上式恒成立，求实数x的取值范围2若不等式ax-2x+2>0 对x(1,4)恒成立，求实数a的取值范围。
例2、?xax? 3(若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是x,Ra( ),,,xkxk++<,对一切实数x都成立,则k的范围是。
例3、设不等式,,6,xx++ 第二课时(题纲)恒成立常见类型:1、f(x)>a型，分离变量法,成都市新都香城中学:邵成林2、f(x)>g(a)型，3、f(x)>g(x)型，转化为f(x)-g(x)>0，(或常用图象法)而不是f(x)>g(x)minmax恒成立常见题型处理方法.赋值法;2、一次函数型;3、二次函数型;4、变量分离型;5、数形结合型1、十、[课后反思]:学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。
在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
本节课以学生近期易错题引入，调动学生积极性和求知欲;以现实生活中的口语深入浅出来分析理解现实生活中的“恒成立”与“存在性”问题，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索;通过类比，引导学生将现实生活中的问题转化到数学中，体现由“实践……观察……归纳……猜想…… 结论…… 验证应用”的循环往复的认知过程，通过这个方法，把这一节课学生认知中的难点，即“恒成立”与“存在性”问题向最值的转化分层简了;在学生理解“恒成立”与“存在性”问题这一难点中，再给出符号语言，图形语言，生活口语三种语言相结合，引导学生归纳总结，通过师生互动，强化学生对此问题化归的理解。
在设计本教案时，应增加教案的弹性设计，设置不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程。
例3之前，为必做题，必做题是让学生巩固所学的知识，熟练知识的化归思想。