湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A x x =-<<，{}220B x x x =-<，则AB =（ ）A. ()10-， B. ()02， C. ()20-， D. ()22-，【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得AB .【详解】由()2220x x x x -=-<，解得02x <<，所以()0,2A B =.故选：B.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.函数()f x =的定义域为（ ） A. (]30-， B. ()31-， C. ()3-∞-，D.()(]331-∞--，，【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意，12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，解得30x -<≤.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，主要是偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零，属于基础题.3.若函数f （x ）＝()()()2111a xx ax x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（）A. （﹣∞，2)B. （0，2）C. （0，12] D. [12，2） 【答案】C 【解析】 【分析】函数f （x ）＝()()()2111a xx ax x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩在R 上是增函数，等价于当1x ≥时，()(2)=-f x a x 是增函数，当1x <时，()1f x ax =+是增函数；另外还要满足()f x 在分界点1x =处，左边的函数值小于等于右边的函数值，即12+≤-a a ，通过解不等式组，可确定a 的取值范围. 【详解】由1x ≥时，()(2)=-f x a x 是增函数，得20a ->，即2a <；由1x <时，()1f x ax =+是增函数，得0a >；又()f x 的定义域为R ，所以在1x =应有12+≤-a a ，即12a ≤，综上，实数a 的取值范围是1(0,]2，故选C. 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,容易忽略对分界点左右两边的函数值大小关系进行讨论.4.下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A. y x = B. y ＝2x -C. y ＝|x|D. 1y x=【答案】C 【解析】 【分析】逐一判断每个函数的奇偶性和单调性，可得正确答案.【详解】对于A ， y x =，为奇函数，不符合题意；对于B ，2y x =-，为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于C ， y x =，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于D ，1y x=，为奇函数，不符合题意；故选C.【点睛】本题主要考查常见函数的单调性和奇偶性的判断，较基础.5.函数[]211,1y x x x =-+∈-，的最大值与最小值之和 （ ） A. 1.75 B. 3.75 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的对称轴，判断其在[]1,1-上的单调性，根据单调性求出最值，即可得出结果。

【详解】解：函数21y x x =-+的对称轴为12x =，其在1(1,)2-上单调递减，在1(,1)2上单调递增，22max min 113(1)(1)13,()1224y y ∴=---+==-+=，max min 33+=3.754y y ∴+=故选：B 。

【点睛】本题考查二次函数在给定区间上的单调性及最值，是基础题。

6.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当[]01x ∈，时，()2xf x m =-，则()1f -=（ ）A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】先根据()00f =求得m ，然后根据函数的奇偶性求得()1f -的值.【详解】由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，而当[]01x ∈，时，()2x f x m =-，所以()0020,1f m m =-==，所以当[]01x ∈，时，()21x f x =-，故()11211f =-=.由于()f x 为奇函数，故()()111f f -=-=-.故选：A.【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数的值、求函数值，属于基础题. 7.下列不等式成立的是（ ） A. 231.2 1.2>B. 321.2 1.2--<C. 1.2 1.2log 2log 3>D.0.20.2log 2log 3<【答案】B【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，即可得到判定，得出答案.【详解】由题意，指数函数(),1xf x a a =>时，函数是增函数，所以231.2 1.2>不正确，321.2 1.2--<是正确的，又由对数函数() 1.2log f x x =是增函数，所以 1.2 1.2log 2log 3>不正确； 对数函数()0.2log f x x =是减函数，所以0.20.2log 2log 3<不正确， 故选B.【点睛】本题主要考查了指数函数以及对数函数的单调性的应用，其中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.设251()3a =，432b =，21log 3c =，则（ ）A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】D 【解析】因为205110()()133a <=<=，4322b =>，2231log log 10c =<=，故c a b <<，所以选D.9.函数()25()log 2f x x x =-的单调递增区间是（ ） A. ()1,+∞ B. ()2,+∞C. (),1-∞D. (),0-∞【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y=log 3（x 2-2x ）的单调递增区间 【详解】函数y=log 5（x 2-2x ）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞）， 令t=x 2-2x ，则y=log 5t ，∵y=log 5t 为增函数，t=x 2-2x 在（-∞，0）上为减函数，在（2，+∞）为增函数， ∴函数y=log 5（x 2-2x ）的单调递增区间为（2，+∞）， 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键．10.已知幂函数()y f x =的图象过点1,22⎛ ⎝⎭，则()4f 的值为( ) A.14B. 2C. 4D.116【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和待定系数法，求出幂函数的表达式，即可求值．【详解】设幂函数为()f x xα=，()y f x =的图象过点1,22⎛ ⎝⎭，121()2222αα--∴===12α∴=．()12f x x ∴=，()12442f ∴===，故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，同时考查了幂函数的概念，属于基础题.11.已知函数f （x ）=log a （x +1）（其中a ＞1），则f （x ）＜0的解集为（ ） A. ()1,-+∞ B. ()1,+∞C. ()0,1D. ()1,0-【答案】D 【解析】 【分析】因为已知a 的取值范围，直接根据根据对数函数的单调性和定点解出不等式即可。

【详解】因为1a >，所以()()log 1a f x x =+在()1,-+∞单调递增， 所以()()log 10log 1a a f x x =+<= 所以011x <+<，解得10x -<< 故选D 。

【点睛】在比较大小或解不等式时，灵活运用函数的单调性以及常数和对指数之间的转化。

12.若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ）A. ()1xy f x e =+ B. ()1xy f x e-=--C. ()1x y f x e =-D. ()1xy f x e =-+【答案】A 【解析】试题分析：根据题意有00()0x f x e -=，所以00()x f x e =，而000000()1()110x x x x f x e f x e e e ----+=-+=-⋅+=，所以有0x -是函数()1x y f x e =+的零点，故选A ．考点：函数的零点的定义．13.若函数()()()()lg 1lg 3lg f x x x a x =-+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是A. 13a或134a =B. 1334a ≤< C. 1a ≤或134a = D. 134a >【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，原题等价于213530x x a x x a <<⎧⎪<⎨⎪-++=⎩，再讨论即可得到结论．【详解】由题()243lg x x f x a x ⎛⎫-+-= ⎪-⎝⎭，故函数有一个零点等价于21343lg 0x x a x x a x ⎧⎪<<⎪⎪<⎨⎪⎛⎫-+-⎪= ⎪⎪-⎝⎭⎩即213530x x a x x a <<⎧⎪<⎨⎪-++=⎩当0∆=时，134a =，52x =,符合题意； 当>0∆，134a <时，令()253x x x g a =-++，a 满足()()1030g g ⎧>⎪⎨≤⎪⎩解得13a ,综上a 的取值范围是13a 或134a =故选：A ．【点睛】本题考查函数的零点，对数函数的性质，二次函数根的分布问题，考查了分类讨论思想，属于中档题．14.若方程222lg(2)0x x a a ---=有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1a >或12a <- B. 112a -<< C. 12a >-D. 1a <【答案】A 【解析】 【分析】根据方程根的特点可知：方程对应的函数有()00f <即可，并注意真数大于零，利用不等式组求范围.【详解】设()222lg(2)f x x x a a =---,图象如图所示：根据条件，由图可知：只需满足()20020f a a ⎧<⎨->⎩即222120a a a a ⎧->⎨->⎩，解得：1a >或12a <-，故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，难度较易.处理根的分布问题，最好可以图象分析，这样可以更直观的得到需要满足的不等式组.15.函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C 【解析】 分析】令3t x =，()u g t =，先由图象知方程()0g u =有三个根，再根据u 的值确定t 个数，最后根据t 的值与个数确定结果.【详解】令3t x =，()u g t =，则由3(())0g g x =，有()0g u =，由图象知有三个根1(3,0)u ∈-，20u =，3(0,3)u ∈，分别令1()u g t =，2()u g t =，3()u g t =，由图象知有9个不同的t 符合方程，而3t x =为单调递增函数，所以相应x 的根的个数为9个，故选C. 【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象的关系以及数形结合思想的应用，合理换元，逐层分析方程的根的情况是解决本题的关键.二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上．16.设集合{}12A =，，则满足{}123A B ⋃=，，，{}2A B ⋂=的集合B =___________． 【答案】{}23，【解析】 【分析】根据,,A A B A B ⋃⋂的元素，求得集合B .【详解】依题意{}12A =，，由于{}123A B ⋃=，，，故3B ∈，由于{}2A B ⋂=，故2,1B B ∈∉，所以{}2,3B =. 故答案为：{}2,3.【点睛】本小题主要考查根据集合,A B 的交集和并集所包含的元素，求集合B ，属于基础题. 17.已知函数()2232f x x +=+ ，且()4f a =，则a =_________ 【答案】103【解析】解：令2x+2=a ，则22a x -= 所以2()3242a f a -=⨯+= 解得103a =.故答案为10318.已知3()3f x x x =+，R x ∈，且2(2)()0f a f a -+<，则实数a 的取值范围是________．【答案】()2,1- 【解析】 【分析】求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式转化进行求解即可。