计算流体力学讲义2020
第五讲 差分方法（3）
李新亮 知识点：
通量技术简介——Steger-Warming, Roe 常用的隐式处理方法——LU-SGS
1 Copyright by Li Xinliang
知识回顾： 单调、保单调和TVD
概念： 网格Reynolds数 Re x Rex 单调格式、保单调格式及TVD格式
2
1
1 (3 )u c2 3 u2 1 2
0
1
u
u E
验证方法2： 利用齐函数性质
f (U) f(U) (f(αU) ) U f(U) 1
(αU)
f(U) (f(U)) U AU U
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5
2. 流通矢量分裂(FVS)
f1 [u, u2 p, uv,u(E p)]T
f 2 [v, uv, v2 p,v(E p)]T
令： f f1 f2
具体使用步骤， 以计算 f1 为例 x
则：
~f (~)
2
~0
2
V2
~3 2
[~~u001u2v~0v~~1233~]uv311 ~2~4~~444[vuu2222
f x
f x
f x
1 [ (f 2 x
*U)
x
(f
*U)]
1 2
[
x
(f
*U)
(f x
*U)]
1 2
[(
x
x
)f
]
* 2
[(
x
x
)U]
x0f
*x
xx U
U f(U) 0 t x
U t
f(U) x
*x
2U x2
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1 u, 2 u c, 3 u c k , k (k 1,2,3)
4） 带入（1）式得到 f , f
5） 利用不同的迎风格式，分别计算
f f ,
x x
（后差，前差）
6）计算 f f f x x x
k
k
(2k 2 )1/ 2 2
（1） ~f (~λ)
2
(
21()~1u12)2~(1u~22(1u~)2~(1uc)2~c2)~23~~3(3u(uc)c2)
4
§ 5.1 流通矢量分裂： Steger-Warming 、L-F
1. Jacobian 系数矩阵及其性质
U f(U) vis t x
U (, u, E)T ,
f(U)
f1 f2 f3
u
u
2
u(E
p
p)
u2
( 1)u3
u2u3 u1
3 u22 2 u1
v22
]
W
W
(3 )(~3 ~4 )c2 2( 1)
u1 u ck~1 u2 u ck~1
~ k1
/
~ k2
/
~0 2( 1)~1
v1 v ck~2 v2 v ck~2
2 2
对于曲线坐标系
Uˆ fˆ1 fˆ2 0 t
1) 令 1, 0 2) 计算特征值
1 2 u,3 u c,4 u c
w
w (3 )(~2 ~3 )c2 2( 1)
f ~f (λ ), f ~f (λ )
f f f
7） 时间推进 U f 0 t x
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➢二维问题的steger-Warming 分裂
U f1 f2 0 t x y
U [, u, v, E]T
Steger-Warming 分裂
f ~f (λ )
特点： 不必进行矩阵运算，计算量小
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➢ Steger-Warming 具体步骤 （以一维为例）
u a u 0
t x
f
a0
x
已知 U (, u, E)T
f
x
a0
1） 计算 ,u, p
2） 计算 3） 计算
2
2
如果差分格式无耗散（例如 都用中心差分），则通量分 裂不带来耗散。
x f x f x f
U t
0 x
f
a
U 0
xx
耗散
x f
0 x
f
0 x
f
0 x
(
f
f
)
0 x
f
向上平移
分裂后的流场越偏离原先流场，则 总体耗散越大
=
+
向下平移
如使用低精差分度格式， 则对分裂形式敏感 （推荐使用特征分裂） 如使用高精度格式（低耗散），则对分裂形式不敏感 （可使用逐点分裂）
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➢ FVS差分方法一般流程
Step 1. 构造差分格式 u a u 0 t x
u ui1/2 ui1/2
x
x
Step 2. 推广到方程组
U f(U) 0 t x
f f + f =+
x x x
f +
=
f j 1/ 2
f
j 1/
2
x
x
差分格式
3) 分裂特征值，计算 k ,k
(k 1,2,3,4)
k
k
(2k 2 )1/ 2 2
4) 带入左式，计算正、负流通矢
量
f1 ~f ( )
5) 计算
f1 f1 f1 x x x
fˆ1 J 1xf1 J 1yf2
仅需令
J
1 x ,
J
1 y
三维问题同样处理
计算 f2 设置 0, 1 ，并注意
… j-2 j-1
j
j+1 …
1） 逐点分裂 f k
通量分裂
fk , fk k=1,2…..N
j+1/2
2）针对j点：计算特征矩阵
U j1/2
S j1/2
3）（将网格基架点）变换到特征空间
S1 j 1/ 2
简单平均即可（Roe平均效 果更好些）
U j1/2 =（U j U j1) / 2
A j1/2 =Sj11/2ΛS j1/2
完全 解耦
U f(U) 0 U A U 0
t x
t x
在基架点上系数 A j 不变
U t
j
Aj
U x
j
0
… j-2 j-1 j j+1 …
U
计算：A j x j 在差分基架点上Aj 不变， 可按常矩阵处理
U A j x j
A j Sj 1ΛjSj
局部冻结系数
A
j
U x
j
S
1 j
ΛS
j
U x
y 1 2 v,3 v c,4 v c
二维、三维具体 公式见傅德薰等《计算空气动力学》 4.7节 （158-162）
书中公式有一定的排版错误，使用C前opy务righ必t by重Li X新inli仔ang细推导！
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B: Lax-Friedrichs (L-F)分裂
A (A *I) / 2, A (A *I) / 2
f(U) AU
特点： A 正特征值 A 负特征值
f AU (f *U) / 2
* 足够大
缺点：耗散偏大
例如，可取 * u c
=
+
局部L-F分裂，每个点上计算 * u c 常数
数学性质（光滑性） 最好，但耗散偏大
全局L-F分裂，全局（一维）上计算 * max ( u c) x
与迎风格式结合，等价于人工粘性
U f(U) 0 t x
方法1： 流通矢量分裂(FVS)
f(U) f (U) f (U)
f f f x x x
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方法2： 通量差分分裂 （FDS）
利用 Riemann解
u a u 0 t x
特点： 对流通矢量 f 的导数进行分裂
f(U) AU
f f f
f AU S1ΛSU
向量分裂 特征值标量分裂
A: Steger-Warming 分裂
Λ diag{k }
Λ Λ Λ Λ diag{k }
k
2
, k
2
任意函数分解为：
非负函数+非正函数
=
优点：耗散小 缺点：导数间断
+
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Harten定理： 正系数原则
TVD
单调
保单调
TVD格式= 1阶迎风+ j *（修正项）
u j1/ 2 u j j (r)(u j1 u j ) / 2
j j j(rj ),
rj
u j u j1 u j1 u j
二阶精度区
TVD区
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二阶精度TVD区（二 者交集）
6
k
2
, k
2
f AU S1ΛSU
优点：耗散小 缺点：导数间断
=
+
~f (~λ)
2(21()~1u Nhomakorabea2)2~(1u~22(1u~)2~(1uc)2~c2)~23~~3(3u(uc)c2)
w
k
k
k 2
改进版
k
k
(2k )2 1/ 2 2
w (3 )(~2 ~3 )c2 2( 1)
5）变换回物理空间
f j1/2