24．3 正多边形和圆
一、【教学目标】
知识与能力：了解正多边形与圆的关系，以及正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．经历探索正多边形与圆的关系过程，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．
过程与方法：学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现和解决问题，提升学生的观察、比较、分析、概括及归纳的思维能力和推理能力．
情感态度与价值观：学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又应用于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的.
重点：了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念．
难点：探索正多边形与圆的关系．
二、【教学过程】
一、巩固基础，复习回顾
问题1：什么是多边形？
问题2：多边形的内角和、外角和分别是多少？
问题3：什么样的多边形是正多边形？
问题4：正多边形都有哪些性质？（数量关系和对称性）
教师演示课件，提出问题，引导学生观察、思考．
学生独立思考，发表各自见解．
二、情景引入，探索新知
1、提出问题
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
例题：以圆内接正五边形为例证明：如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接
各分点得到正五边形ABCDE.
问题：如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？
定义：把圆分成n（n≥3）等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内
接正多边形.
教师演示课件，把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形．
教师引导学生从正多边形的定义入手，证明多边形各边都相等，各角都相等，引导学生观察、分析．
教师关注引导细节：1、学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边，进而证明五边形的各边相等；2、学生能否观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；3、学生能否发现每一个圆周角所对弧都是三等份的弧；4、学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形．
教师带领学生完成证明过程． 2、概念学习
①我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心（即点O ） ②外接圆的半径叫做正多边形的半径（即OA ）
③正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角（即∠AOB ） ④中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（即OM ） 应用深化
1. O 是正△ABC 的中心，它是△ABC 的 外接 圆的圆心。
2. OB 叫正△ABC 的 半径 ,它是正△ABC 的 外接 圆的半径。
3. OD 叫作正△AB 边心距 。
4. ∠BOC 是正△ABC 的 中心 角;∠BOC= 120 度；∠BOD= 60 度.
教师演示课件，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念．学生观看课件，理解概念．
展示应用练习，强化学生对概念的理解. 3、正多边形有关的计算
思考1：正多边形的中心角与外角的大小关系？中心角与内角关系？ 正多边形的内角:()n n ︒⨯-=
1802内角.
正多边形的中心角:n
︒
=360中心角.
规律：正多边形的中心角与外角相等；中心角与内角互补。
思考2：你发现正多边形的边心距与半径和边长有怎样的关系？ 正多边形的边心距：
.222AM OM OA AOM Rt +=∆中，有在
2
22⎪⎭
⎫
⎝⎛-=a R r 得：.
正多边形面积：Lr ar N S 2
1
21=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=. 4、例题巩固
例题1：有一个亭子它的地基是半径为4 m 的正六边形，求地基的周长和面积．
教师引导学生画出正六边形图形，进行分析．
教师关注引导细节：1、学生能否知道如果想要求地基的周长和面积，需要先求正六边形的边长和边心距；2、学生能否将正六边形的边长、半径和边心距在一个三角形中构造基础图形来研究．3、学生能否将正六边形的中心与顶点连接起来，将正六边形分割成6个全等的等腰三角形，去发现每个等腰三角形的顶角就是中心角，腰是半
径，底边是边长，底边上的高是边心距，从而利用勾股定理进行计算，进而能够求得
正多边形的周长和面积．
教师引导学生完成例题的解答．总结这一类问题的求解方法．
例题2：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角都相等的圆内接多边形呢?
如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.
教师让学生完成例题2，学生讨论，思考回答．
教师关注引导细节：1、学生能否利用正多边形定义进行判断；2、学生能否由圆内接多边形各边相等，得到弦相等及弦所对的弧相等，进而证明圆内接多边形的各内
角相等.
三、回顾梳理，课堂小节
1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系．三、【板书设计】
中心：点O 半径：OA 中心角：∠AOB 边心距：OM 正多边形的内角:
()
.
180
2
n
n︒
⨯
-
正多边形的中心角：
n
︒
360
.
边心距：
2
2
2
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
a
R
r.
面积：Lr
ar
n
S
2
1
2
1
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=.
巩固练习
四、【教后反思】
《正多边形与圆》这一节的教学目标是：让学生能将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题来解决；会用量角器或尺规等分圆、画出正多边形.通过学习使学生能认识到事物之间是普遍联系的，事物之间是可以相互转化的，并培养和训练学生的综合运用知识能力和解决实际问题的能力，渗透数形结合的思想和方法.
感谢您的阅读，祝您生活愉快。