正多边形和圆（一）教案
教材分析
学生在前面已经学习了正多边形的概念，了解正多边形的各边相等、各内角相等以及多边形内角和的运算公式。

在本册中学习了圆及圆的有关性质，理解圆中弧与弦的关系，从而为本节课研究正多边形与圆的关系打下了良好的基础，本节课先通过观察美丽的图案，让学生感受到数学来源于生活。

接下来研究正多边形和圆的关系，按由特殊到一般的规律，以正五边形为例进行探索和证明，并将结论推广到正n边形。

让学生体会到化归思想在研究问题中的重要性。

培养学生观察、比较、分析问题的能力，发展了学生合情推理能力和演绎推理能力。

教学目标
知识技能：了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。

能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。

数学思考；通过正多边形与圆的关系的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移的能力。

解决问题：进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想，体会化归思想在研究问题中的重要性，能综合运用所学知识和技能解决问题。

情感态度：学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的。

重点难点
教学重点：探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算。

教学难点：探索正多边形与圆的关系。

教学过程：
一、观察图案，提出问题
（设计说明：学生通过观看美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，从中感受到数学美，并提出本节课所要研究的问题。

）
问题l：观看教科书图24。

3－1，这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的，利用正多边形得到的物体。

你能从这些图案中找出正多边形来吗？
教师引导学生回忆、理解正多边形的概念。

问题2：菱形，矩形，正方形是正多边形吗？
问题3：通过观察图案，你们知道正多边形和圆有什么关系吗？
问题4：给你一个圆，怎样就能做出一个正多边形来？
（教师引导学生观察、思考，学生分组讨论、交流，发表各自见解）
此问题比较抽象，是本节课的难点。

教师要求学生观察教材图案，会发现正多边形的边数多给人一种接近圆的印象。

教师展示课件：在圆中依次出现几条相等的弦，学生会想到弧相等，教师迸一步引导学生明确只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形。

二、自主探究，获得新知
（设计说明：在上面的活动中学生发现了只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形。

教师指导学生进行逻辑推理，论证所发现的结论的正确性，从而培养学生科学严谨的治学态度和运用所学知识解决问题的能力。

）
问题1：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正五边形吗？如果是，该如何证明这个结论呢？
教师利用课件演示，把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形。

教师引导学生从正多边形的定义入手证明，学生通过观察、分析能够得出5段相等的弧所对的弦也是相等的，证明五边形的各边相等。

思考l：五边形的角在圆中是什么角？学生通过观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角。

思考2：每一个圆周角所对的弧有什么特点？
学生分析、讨论发现每一个圆周角所对的弧都是三等分的弧，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形。

教师利用课件展示证明的过程（略）。

问题2：如果将圆n等份，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？
（教学设计：将结论由特殊推广到一般，并教给学生这种研究问题的方法。

）教师要求学生分组讨论、分析，同学之间进行合作交流，教师巡回指导并总结、归纳证明思路；
对应的弦相等
多边形各边相等
对应的圆周角相等多边形各内角相等
问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明为什么。

如果不是，举出反例。

（设计说明：此问题的提出是为了巩固所学知识，明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角都相等，这两个条件缺一不可。

同时教给学生学会举反例，培养学生思维的批判性。

）
让学生讨论，思考回答，教师讲评。

三、了解概念，巩固练习
（设计说明：教师引导学生将实际问题转化成数学问题，将多边形化归成三角形来解决，体现了化归思想在解题中的作用。

）
教师演示课件，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念。

问题1：我们在前面的章节中学过的正多边形有哪些？
教师要求学生分别画一个正三角形和正方形，让学生找出它的中心，画出它的半径、边心距、中心角，加深对概念的理解。

问题2：让学生阅读教科书例题。

引导学生把实际问题形成数学问题，结合图形，明确哪一部分是地基，知道要计算的是哪一部分。

教师演示地基的数学图形，引导学生进行分析。

思考：欲求地基的周长和面积，需要先求出正六边形的什么？
学生分析、讨论得出先求出正六边形的边长和边心距。

教师通过演示图形引导学生将正六边形的边长、半径和边心距集中到一个
三角形中来研究。

学生通过分组讨论、交流，发现将正六边形的中心与顶点连接后分割成六个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为中心角，腰为半径，底边为边长，底边上的高为边心距，可利用勾股定理进行计算，进而能求得正多边形的周长和面积。

教师巡视，个别指导。

（教学说明：问题1比较简单，主要是巩固正多边形的有关概念；问题2目的是让学生在了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算。

通过问题2引导学生将实际问题转化成数学问题一，将多边形化归成三角形来解决，体现化归思想在解题中的应用，让学生领会化未知为已知，化复杂为简单的解题思路。

问题3利用网格图呈现，便于学生比较，加深对图形的理解。

这也是本节课学生要掌握的内容。

）
问题4：巩固练习
四、反思总结，深化拓展
（设计说明：围绕两个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。

）
问题1：本节课你学习了什么？。

有何收获？
问题2：正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？
问题3：正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？正多边形有哪些性质？
问题4：正n边形的半径，边心距，边长有什么关系？
（教学说明：学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善。

通过问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构；通过问题2拓宽学生的视野，引导学生注意在学习过程中加强知识点之间的联系，关注不同层次学生对本节课知识的理解）
五、布置作业
教材习题24。

3第3，5，6题。

（教学说明：通过对实际问题的探究，完成从具体一抽象一具体的思维螺旋上升过程，形成应用数学的意识，加深对本节知识的理解。

）。