某型号空心传动轴的优化设计机械工程 2015J103 张媛媛
欲设计如图1-1所示的某型号空心传动轴 ,其中D 和d 分别为空心轴的外径和内径 ,轴长L=4m 。

轴的材料密度ρ=7.8×10³kg/m ³ ,剪切弹性模量
G=80GPa ,许用剪切成功[r]=40MPa ,单位长度许用扭转角[Ø]=1°/m ,轴索传递的功率P=5.5kW ,转速n=200r/min 。

在满足许用条件和结构尺寸限制条件的前提下对该空心轴进行优化 ,使该轴的质量最小。

一、确定工作变量
图1-1所示传动轴的力学模型是一个受扭转的圆柱桶轴。

其外径D 和内径d 是决定圆轴的重要独立参数 ,故可作为设计变量 ,将其写成向量形式：
X=[x 1 ,x 2 ]T =[D,d]T （1-1）
二、简历目标函数
若取质量最小为优化目标 ,则目标函数空心圆轴的质量可按下式计算： M=4
π
ρL （D ²-d ²）（kg ） （1-2） L
可见 ,这是一个合理选择D 和d 而使质量M 最小的优化问题。

注意：再设计时要确定目标变量的单位。

在确定目标函数和约束条件时 ,应保持它们单位的一致 ,即D 、L 的单位为毫米（mm ） ,质量M 的单位为千克（kg ）。

三、上述设计应满足的使用条件和结构尺寸限制如下：
（1）扭转强度、根据扭转强度 ,要求扭转剪应力需满足
τmax =t
W T ≤[τ] (1-3) 式中 ,T 为圆轴所受扭转 ,T=
n 9549P (N •m )；W t 为抗扭截面模量 ,W t=D D 16d -44）
π（(MPa)。

（2）扭转刚度 ,为了确保传动轴正常工作 ,除满足扭转强度条件外 ,还要限制轴的变形 ,限制即为刚度条件 ,通常要求单位长度的最大扭转度扭转角不超过规定的许用值 ,即
Ø=p
GI T ≤[Ø] （1-4） 式中 ,Ø为单位长度扭转角（rad ）；G 为剪切模量(MPa)；I p 为极惯性矩
（m 4）。

（3）结构尺寸。

由结构尺寸要求决定的约束条件
⎩⎨⎧≥≥d
0d D 由已知条件：功率（W ）=
60
min /r m 2）转速（）扭矩（π⨯•⨯N ,扭矩（N •m ）=）转速（）功率（min /r k 9549W ⨯ ,可得 I p=32
d 44）π（-D （1-5） 6410d 200165.595494⨯-⨯⨯⨯⨯）（πD D -40≤0 （1-6）
Ø=p
n GI M ×π180=）π（44n d -32D G M ×π180 （1-7） -1≤
）（π442d 80200180325.59549-⨯⨯⨯⨯⨯⨯D 0 （1-8） 将所有的函数表达式规范化并带入已知数据 ,可得传动轴优化设计的数学模型 ,即
min ƒ（x ）=24 504×10-6×（x 21-x 22） （1-9）
满足约束条件： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-=≤-=≤--⨯=≤--⨯0)(X 0X g 01109157.1X g 0133435X g 24
34241624241112x g x x x x x x ）
（）（）（ （1-10） 四、优化程序及优化结果
1.设计目标
心圆轴的质量最小
2.MATLAB 优化程序及优化结构
应用MATLAB 软件的优化工具箱对上述优化问题求解。

（1）取设计变量的初值为x0=[20 10]。

首先编写目标函数的Objfun.m,返回x 处的函数值f 。

function f=fun （x ）
f=24.504e-6*（x （1）^2-x （2）^2）；
（2）编写描述非线性约束的m 文件nonlcon.m 。

function [c ,ceq]=nonlcon （x ）
c=[3.3435e4*x （1）/（x （1）^4-x （2）^4）-1；1.9157e6/（x （1）^4-x （2）^4）-1]； ceq=[];
（3）运行run.m 函数 ,给定初值 ,并调用优化函数。

x0=[20 10]；
A=[-1 1]；
b=0；
lb=[0 0]；
[x ,f ,exitflag ,output]=fmincon（´fun´,x0,A,b,[],[],lb,[],´nonlcon´) （4）优化程序经过7次迭代计算后收敛 ,可得空心传动轴的外径和内径的最
优解分别为D= 37.2mm ,d=9.87mm ,此时空心轴的质量最轻 ,其值为
0.0321kg。