Q T T = T 标量
∴ (T T );λ = T; λ T + T T ;λ = T;λ T + T T ,λ T Γα Tα λ
又
左 = T,λ T + T T ,λ
右 = T T + T T ,λ Γ T Tα
;λ
α λ
α ∴ T; T = T, T + T T ,λ T T ,λ + Γλ T Tα λ λ α = T, T + Γλ T Tα = T, T + Γαλ T α T λ λ
T ν 的任意性，故有 注意到
Tν;λ = Tν,λ Γ Tα Γ Tαν
同理有
T;ν = T,ν + Γαλ T αν + Γλα T α λ λ
α λν
α λ
3、还可以证明： 1） δ = 0 ν ;λ 2） A[ ;ν ] = A[ ,ν ] Γ[λν ] Aλ 3）当采用对称联络时，有
I λ ν
II λ ν
λ ≡ Tν
——（1，2）阶张量 ——对称联络
（ii） Γ
≡
1 λ λ (Γν + Γν ) 2
λ λ （iii）Γ[λν ] ≡ 1 (Γν Γν ) ——反（对）称联络——挠
率张量 （iv） Γ λ ≡ Γ λ + Γ λ ν ( ν ) [ ν ]
2
§1.4 张量的协变微商
A[ ;ν ] = A[ ,ν ]
§1.5 测地线方程
1、定义： 平直空间的直线：两点间的最短连线 弯曲空间的直线：两点间的最短连线——测地线 （例如球面上的大圆线（经纬线） 2、测地线方程 平直空间的直线方程为
d2x =0 2 dλ
对n维空间的曲线由n个参量式描述：
x = x (λ )
1，当 = ν δ = 0，当 ≠ ν
ν
2.张量的运算 ①加（减）法 两张量 Aν , Bν ,则有
C = A ± B = [( A 1 ± B1 ) + ( A 2 ± B 2 ) + L ( A ± B )] ν ν ν 1 1 2 2 ν ν
②乘法（外乘） ——升阶 ③缩并（张量的一对上下指标求和） ——降阶 Aν Aλ = C , if ν = λ
x ' det α ≠ 0或∞ x
则有逆变换存在，它写作
xα ' . α dx = ' dx x
正变换矩阵与逆变换矩阵满足
x x = δν 'ν α x x
以及
'
α
x x α = δβ . ' β x x
α
'
仿射空间中张量的定义 ①逆变张量：当从坐标 {x }→{x ′ } 时，
T 零阶逆变张量（标量） →T′ T′(x′) = T(x) 0个分量） （n
x α 2 x α x ′ ν λ ′λ ′ Γν Tλ dx ′ ν = Γαν Tλ dx ν + Tα dx β x ′ x ′ x ′ ν x β x α x ′ ν ′λ 左 = Γν Tα dx β x ′ λ x β
x σ 2xα x ′ ν α 右 = Γσβ Tα dx β + β Tα dx β x ′ x ′ x ′ ν x
= 1,2, L , n
= 1,2, L , n
同一点可用另一个参考系描述
Hale Waihona Puke 两个参考系坐标之间的联系叫坐标变换，
x ' = x ' ( x)
坐标微分的变换
n x ′ ν x ′ ν dx ′ = dx (= ∑ ν dx ) ν x ν =1 x
, ν = 1,2, L , n
重复指标求和——爱因斯坦约定 当
x β x σ x ′ λ 2xα x ′ λ α ′λ Γν = Γβσ + α ν α ν x ′ x ′ x x ′ x ′ x
λ ν ν
证明如下： ∵ ∴
T ( P → Q) = T ( P) + Γ ( P)Tλ ( P)dx
′ ( P → Q) = T′ ( P) + Γ′λ ( P)Tλ′ ( P)dx′ν T ν
x α x ′ ν x σ 2 x α x ′ ν α ′λ ∴ Γν = Γσβ + λ β x ′ x x ′ x ′ x ′ ν x β
故
x σ x β x ′ λ 2 x α x ′ λ α ′λ Γν = Γσβ + ν α x ′ x ′ x x ′ x ′ ν x α
λ 显然，只要仿射联络 Γν 满足此变换公式，则矢量 的平移便可保持其矢量性不变。不同点的张量便
（n2个分量）
m 阶协变张量（张量）
T {
m
ν Lσ
′ ′ → Tν Lσ Tν Lσ
123 4 4
m
xα x β xτ = ' 'ν L 'σ Tαβ Lτ x x x
（nm个分量）
例
ν λτ
混合张量
{ x }→{ x ′ }时
T
′ν Tλτν ′ → Tλτ
x′ x′ν xσ x l αβ = α T σl β λ τ x x x′ x′
lim T (Q ) T ( P ) Γ λ ( P )Tλ ( P )xν ν Q→P xν
= lim
T (Q ) T ( P ) xν
Q→P
Γ λ Tλ ( P ) ν
= T ,ν Γ λ Tλ ν
即
T ;ν = T ,ν Γ T
λ ν λ
对逆变矢量 T 有 T;ν = T,ν + Γ λν T λ
建立了一种联系——仿射联络。 同样可得逆变矢量的平移公式
δ T ( P) = T ( P → Q) T ( P) = Γαβ ( P)T α ( P)dx β
T ( P → Q) = T ( P) Γαβ ( P)T α ( P)dx β
3.仿射联络的性质 （i）
Γ Γ
λ ( ν )
第一章 仿射空间中的张量分析
将物理规律表达为张量方程，使它在任何参考系下 具有相同的形式，从而满足广义相对性原理。
§1.1 n 维仿射空间中的张量
1．张量的定义 n 维空间中的任一点可用 n 个数构成的数组来描 述,即坐标
x = ( x 1 , x 3 ,L x n )
x ′ = ( x ′1 , x ′ 3 , L x ′ n )
x′ ν T →T′ T′ = ν T （n1个分量） 一阶逆变张量（矢量） x x′ x′ν αβ T ν → T ′ν T ′ν = α T 二阶逆变张量（张量） β x x
（n2个分量）
m阶逆变张量（张量）
m }
T
ν Lσ
→T′
m }
ν Lσ
T′
ν Lσ
x′ x′ν x′σ αβ Lτ （nm个分量） = α L τ T β x x x
T ν = S ν + A ν
S ν = S ν = 式中 1 ν (T + T ν ) = T ( ν ) 2
1 ν (T T ν ) = T [ν ] 2
A ν = A ν =
——对称部分 ——反称部分
2、反称张量的性质： (a) 当任意两个指标取同样值时，张量的该分量为 零。 (b) n 维空间中最高阶的反称张量是n阶的，这张 量只有一个独立分量。如三维空间中的三阶反称 张量 T νλ 只有 T 123 是独立的。 (c) n 维空间中的 n-1 阶反称张量只有 n1个独立分 量。如三维空间中的二阶反称张量 T 的独立分量 T 12 ， 23 和 T 31。 T 是
特点：每一指标均按坐标微分的变换规律变化。
②协变张量：
当从坐标 → 时， 零阶协变张量（标量）T →T′ T′(x′) = T(x)（n0个分量）
xα 一阶协变张量（矢量）T →T′ T′ = x' Tα
{x }
{x ′ }
（n1个分量）
二阶协变张量（张量）
Tν xα x β ′ ′ → Tν Tν = ' 'ν Tαβ x x
注意到 T 的任意性，故有
T =T +Γ T
;λ
,λ
α λ
α
例：求二阶协变张量的协变微商 Tν;λ 解：已知一阶张量的协变微分公式，取一缩并
( T ν T ν ) ; λ = T ν ; λ T ν + T ν T ;ν λ
α 左 = (Tν T ν ) ,λ Γλ Tαν T ν
ν 右 = Tν;λ T ν + Tν (T,ν + Γλα T α ) λ
= Tν ;λT ν + Tν T,ν + Tν T α Γν λ λα
α ν ∴ Tν;λ T ν = Tν,λ T ν + Tν T,ν Γλ Tαν T ν Tν T,ν Tλα Tν T α λ λ
α ν = Tν,λ T ν Γλ Tαν T ν Γλα Tν T α
= T ν , λ T ν Γ α Tα ν T ν Γ α ν T α T ν λ λ
又
xα T′ ( P → Q ) = x ′
2 xα x′ν β dx Tα ( P → Q ) + ′ ′ν β x x x
xα = x′
2 xα x′ν β λ + ν dx (Tα ( P ) + Γαν Tλ dxν ) x′ x′ x β
xα T′ ( P → Q ) = ( )Q Tα ( P → Q ) x′
x α 将 x ′
来表述）：
在P点作泰勒展开（∵要统一用P点的量 Q
xα xα 2xα ν xα 2xα x′ν β ′ = ′ + ′ ′ν dx′ = ′ + ′ ′ν β dx x Q x P x x P x P x x x P