11 1 2 22 2
EI d = M ds = 0 .027 R
3
10
q 2 MP = x 2 EID1 P = M 1 M P ds = -0.224qR 3 EID 2 P = M 2 M P ds = -0.0223qR
4
X1 = X2 =-
D1 P
d
= 0.121qR 2 = 47.1kN .m
11
D2P
d
= 0.827 qR = 51.7 kN
22
H = X 2 = 51.7 kN M 0 = X 1 - X 2 ( R - a ) = 2.76kN .m M A = M B = X 1 + X 2 (a - R cosj 0 ) = 6.98kN .m
0 2 2 M ql 10 10 = C = = = 50kN H 三铰拱的水平推力 f 8 f 8 2.5
11 1 1p
P 1P 11
M 1M 2 kQ1Q2 N1 N 2 d 12 = ds + ds + ds EI GA EA X1=1引起： M 1 =1 N1 = 0 Q1 = 0 X2=1引起： M 2 = - y N2 = -cosj X3=1引起： M 2 = - x N2 = -sin j
0.139
l 0.1810.195 /f
H.I.L.
由M=M0-Hy 作MC.I.L. 先作MC0.I.L 再将H.I.L.×f
5l K 1 - K 1 + K - K 2 8f
0.195l
MCI.L. 0.25
7
0.195l
y
§10-2 对称无铰拱的计算
P1 P2
P1 C C1
X1
P2
截 内 叠 多 静
面 内 力 计 力图的形状特 加法绘制弯矩 跨 静 定 定 刚 架 内 力
算 征 图 梁 图
1
§10-1 两铰拱的计算方法
3m
16m
2
MP=M
0
X1
d 11 X 1 + D 1 p = 0
D1 p = M 1M P EI ds 2 2 M1 N1 ds + ds EI EA
3 ql 8
(0<x<0.5l)
1 ql 8
1 2l 3 1 2 D1 p = - y qlx- qx dx EI 0 8 2 1 l ql qfl3 - l y l - x dx = EI 2 8 30EI
D1 P

l 2
< x & 2 16
2
VA=（1-K）
0 x ≤x≤l
d 1P
H=
M0=Vax=(1-K)x
M0=K（l-x）
l4 f 1 fl 2 4 f 2 0.076 = x l x 1 K xdx + x l x K l x dx =1 K 1 + K K K 2 2 0 3 EI EI l l
MP=M 0
＝
≠
0
P
0
0
H*=1
X1=1
N1
M1
H=1
2 2 M N 1 1 d 11 = ds + ds EI EA D 1P = M 1 M P ds EI
H =-
D 1P
d 11
> H* = -
D* 1P
* d 11
2 2 l M N * 1 1 d 11 = ds + ds+ E1 A1 EI EA l * d 11 = d 11 + E1 A1 * M 1M P * D D1P = ds = D1P H * = - 1P * EI d 4
基本体系
X1
而
0 MC =0 H= f
6
例：等截面两铰拱，试求H、MC的影响线。 d1 p 4 f ξ=Kl y = 2 x l - x 解：由力法方程得 H = d 11 l C
y
H A 0.5l f x 0.5l B VB=K
l 1 4 f y2 8 f 2l d 11 = dx = x l - x dx = 2 0 H EI EI l 15EI M P ydx - 1 l 0 d 1P = - = yM dx 0 EI EI
f
A 0.5l
q↓↓↓↓↓↓↓
x x
x 0.5l
d 11 =
y dx EI
0
D1 p = - yM dx
0 2
B
∴
M0
ql 16 2 3 M0 = 8 qlx - 1 2 qx
0 2
1 l 4 f 8 f 2l d 11 = 2 x l - x dx = 0 EI l 15EI
ql 2 64
M0
2
M反对称
q/ 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
＋
q/
＝
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
ql 2 64
2
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
q/
2
M对称=0
q/ 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
对称荷载下，取三铰拱为基本体系， X1 其MP=0∴ MPΔ1P=0，X1=Δ1P/δ11=0， 而 M= M1 X 1 + M P = 0 在反对称荷载下，对称未知力X1=0 M反对称=M1X1+MP=MP = M0-Hy = M0
pR
X2
X1
X2
x
pR


M 22 ds N 22 ds y 2 ds cos 2 j d 22 = + = + ds EI EA EI EA X 1 = 0 X 2 = - D 2 P d 22 0
X2
X2
注意:1）如果在某一荷载作用下，三铰拱处于无弯矩状态，则在 同一荷载作用下，与三铰拱轴线形式相同的无铰拱的内力 在忽略轴向变形时也处于无弯矩状态；考虑轴向变形时产 生不大的弯矩，接近无弯矩状态。 2）将总的受力状态分解为：忽略轴向变形的无弯矩状态和 单有轴向 变形引起的附加内力状态。这种作法好处有三： pR 第一，计算得到简化； 第二，有助于了解拱的受力特点； X2 X2 X 1 第三，能够更好的保证计算精度。
X1
X2
Oo O1 X3
X2
x x’
P1
X1
X2
P2
X3
对称的基本体系
d d d d d d
y M 1 + d + D = X + D = 0 X X 0 11 1 12 2 1P D = ds d = ds ds EI EI EI = a + d + D = X + D = 0 δ = δ =0 → X 1 22 X 2 0 yM12 21 -aj y y ycos 21 2P 1 d = dsds D = - + ds d = ds = ds ds EI EI X3 + +D D3 P = =0 0 EI X EI EA 33 EI xM x y 1 O 点的物理含义： D = = ds =0 8 ds +d a = ds ds EI EI EI EI
H - H 51.7 - 50 = =3 % H 50
11
例10-4 求等截面圆形无铰拱在均匀水压力作用下的内力。
p
X1
D R Φ0 O Φ0 R X3 合理拱轴线 M=0 ， N= pR M QP=0 ， NP－ =－ pR P=0，Q=0 基本体系 pR X2 y
解：1）忽略轴向变形，取 M 1 =1 N 1 = 0 三铰拱为基本体系。 Δ1P=0 Δ2P=0 Δ3P=0 M 2 = -y N 2 = -cosj 无铰拱和三铰拱均 j pR N cos 2 NP 处于无弯矩状态 D1P = 0 D 2 P = ds = ds EA EA 2）考虑轴向变形，用弹 性中心法计算将精确的 ①不计轴向变形产生无弯矩状态 ②单由轴向变形产生的附加内力状态 内力状态分为： 12 以无弯矩状态作基本体系
H =-
d 11
ql 2 = 16 f
0 MC ql2 = = f 16 f
M=M0 －Hy
－Hy
ql 2 64
5
ql 2 64
M
例：图示拱，EI=常数，求其水平推力H。拱轴线方程为 4f y = 2 xl - x q↓↓↓↓↓↓↓ l y
f
＝
A 0.5l
q/ 2
x 0.5l
B
q/
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑
N1
M1
11
4f y = x l - x 上例，两铰拱与三铰拱的内力相等，这不是普遍性结论。 例：EI=常数，求H。拱轴线方程为 l2 如果在别的荷载作用下，或在计算位移时不忽略轴向变形的 解: 简化假定:只考虑弯曲变形;近似地取 q↓↓↓↓↓↓↓ 影响，两者内力不一定相等。但是，在一般荷载作用下，两 ds=dx,cosj=1(平拱,f/l<0.2)。 铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的。 y l 1 l 2 0
j
X1=1
y
M1 = -y x N 1 = - cos j 0 M y d 11 = D 1P = - ds EI 2 2 y cos j 求出 H后，内力的计算与三铰拱相同 d 11 = ds + ds 由于拱是曲杆 δ11Δ1P不能用图乘法 0 EI 基本体系是曲梁，计算Δ1P时一般只 M C EA 即： 三铰拱中： H = 0 考虑弯曲变形， = M M Hy f 计算δ11时，有时（在平拱中）还要 0 Q = Q cosj - H sinf D 1P D 1P 考虑轴向变形 两铰拱中： - =H =H N = -Q0 sinj - H cosj d d