崇明区2020届第一次高考模拟考试试卷
数 学
考生注意：
1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）
在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．已知集合0123{}A =，，，，02{|}B x x =<≤，则A B =I ． 2．不等式21x -<的解集是 ． 3．半径为1的球的表面积是 ．
4．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S = ． 5．函数()1f x x =+的反函数是 ．
6．计算：1
12323lim -+∞→+-n n n n n = .
7．二项式6
2x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项的值等于 ．
8．若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是 ． 9．已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于 ．
10．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数．当01x <≤时，3(1)f x x ax =-+，则实数a 的值等于 ．
11．某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲
不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种．
12．正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与
边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】
13．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是
A ．
11a b
> B ．a b ->
C ．33a b <
D ．22a b >
14．已知z C ∈，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充要条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
15．如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线
PB 的中点．已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物
线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于 A ．1
2 B ．1
C ．
104
D ．
52
16．若不等式()sin 06x a b x ππ⎛
⎫--+ ⎪⎝
⎭≤对[1,1]x ∈-恒成立，则a b +的值等于
A ．23
B ．5
6
C ．1
D ．2
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分） 在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =． （1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）求点1B 与平面1A BC 的距离．
18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
已知函数231()sin 2cos 22
f x x x =
--. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；
（2）设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求,a b 的值．
P E
C
O
D
B
A
A 1
B 1
C 1
A B
C
19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
某辆汽车以 x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求
60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145001005x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
升．
（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求 x 的取值范围；
（2）求该汽车行驶100 公里的油耗y 关于汽车行驶速度 x 的函数，并求y 的最小值．
20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分）
已知椭圆2
2:14
x y Γ+=，其左右顶点分别为A ，B ，上下顶点分别为C ，D ．圆O 是以线段AB 为
直径的圆．
（1）求圆O 的方程；
（2）若点,E F 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点，直线,CE DF 分别交x 轴于点M N 、，求证：OM ON ⋅u u u u r u u u r
为定值； （3）若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ．是否存在点P ，使得13AP PQ =u u u r u u u r
？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．
21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满
分8分）
已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：对任意的n *∈N ，都有1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，
1||||n n n c a b +=-．记max{||,||,||}n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数,,x y z 中的最大值）．
（1）若11a =，12b =，14c =，求4a ，4b ，4c 的值； （2）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；
（3）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，
{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．
参考答案
一、填空题
1．{1, 2} 2．(1,3) 3．4π4．n25．f-1 (x) =x2 -1(x ≥0)6．3
7．160 8．
y2-=1 9．10．2 11．78 12．-7 2。