定理： 对于任一个 (n, k) 线性分组码，若要在码字内
（1） 检测 个错误，要求码的最小距离 d e 1；
（2） 纠正 个错误，要求码的最小距离 d 2t 1 ；
（3） 纠正 个错误同时检测 个错误，则要求 d t e 1； e 循环码的译码分检错译码与纠错译码两类。在无记忆信道上，对码字 c，差错图案 和接收向
r 量 的多项式描述为
r(x) c(x) e(x)
定义 r(x) 的伴随多项式为 s(x)
s(x) r(x) (mod g(x)) s0 s1x s2 x2 sr1xr1
由于 c(x) a(x)g(x) 0(modg(x)),所以 s(x) e(x)(modg(x))
由此可见， s(x) 0 则一定有差错产生，或说满足 e(x)(modg(x)) 0 的差错图样 e(x) 产生，它满足 e(x)(modg(x)) 0 。 循环码的检错译码即是计算 s(x) 并判断是否为 0
在进行误码率与信噪比之间的关系编程后，Matlab 一直显示
其后才发现原来没有对加噪后的信号进行整形输出，于是加入 for 循环以四舍五入对信号进行整 形设定。
for i=1:100 for a=1:k+1 if noisycode(i,a)< noisycode(i,a) = 0; else noisycode(i,a) = 1; end end
以 randint 函数重新做一个输入信号并进行编码，结果与上例相似，输入与输出一致。 由上面所有的图可以发现，编码器输入信号并不完全相同，因为对信号的提取是随机的，所以码元也 是随机的，信号经过编码器后，因为要加入监督码，所以波形变得更加密集了。信号经过译码后，波 形和编码器输入信号大致相同，说明循环码的检错和纠错能力可以。
线 性 分 组 码 的 码 字 集 合 ， 如 果 对 任 C (cn1,cn2 ,,c0 ) C ， 它 的 循 环
移 位 C (1) (cn2 , cn3 ,c0 , cn1 ) 也 属 于 C， 则 称 该
码为循环码。
该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。
1 0 1 1 0 0 0 G 0 1 0 1 1 0 0
0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0 H 0 1 1 1 0 1 0
0 0 1 1 1 0 1
2、编码原理： 有信息码构成信息多项式 m(x) mk1xk1 m0 ，其中最高幂次为 k-1； 用 xnk 乘以信息多项式 m(x)，得到的 xnk m(x) ，最高幂次为 n-1，该过程相当于把信息码
3） 计算 c^(x)=y(x)+e^(x)，得估计码字。若 c^(x)= c(x)，则译码正确，否则错误。 由于 g(x) 的次数为 n - k 次，g(x) 除 E(x) 后得余式（即伴随式）的最高次数为 n-k-1 次，故 S(x) 共有 2n-k 个可能的表达式，每一个表达式对应一个错误格式。可以知道(7,4）循环码的 S(x) 共有 2(7-4) = 8 个可能的表达式，可根据错误图样表来纠正(7,4）循环码中的一位错误。
功能：编码函数 语法：code=encode(msg,N,K,method,opt) 说明：用 method 指定的方法完成纠错编码。其中 msg 代表信息码元，是一个 K 列矩阵，N 是编码后 的码字长度；K 是信息位的长度；opt 是有些编码方式需要的参数。
2）decode 函数 功能：译码函数 语法：msg=decode（code，N，K，method，opt1,opt2,opt3,opt4）;
（ mk 1 ， m k 2 ，……， m1 ， m0 ）移位到了码字德前 k 个信息位，其后是 r 个全为零的监 督位； 用 g(x)除 xnk m(x) 得到余式 r(x),其次数必小于 g(x)的次数，即小于（n-k），将此 r(x)加于信 息位后做监督位，即将 r(x)于 xnk m(x) 相加，得到的多项式必为一码多项式。
信噪比与误码率的关系比较，从图中可看出，当信噪比在 20 以内时，误码率相对比较大，最高达到 以上，而当 SNR 大于２０后，信噪比保持很稳定。下面是误码率的数字显示：
2、实验过程遇到的问题及解决方法 刚开始并没有注意到运用循环码时可用上简便的 Matlab 自带函数，一直苦恼怎么进行纠错编码
及解码，然后查找资料，收集了与循环码相关的函数（部分如下：） 1）encode 函数
说明：这个函数对接收到的码字进行译码，恢复出原始的信息，译码参数和方式必须和编码时采用的
严格相同。它对接收到的码字，按 method 指定的方式进行译码；opt1，…，opt4 是可选项的参数。
3）cyclpoly 函数 功能：生成循环码的生成多项式。 语法：p=cyclpoly（N,K）; p=cyclpoly（N,K,fd_flag）;
H
bk 1,1 bk 1,0
bk 2,1 bk 2,0
b0,1b0,0源自0 1 00 0 1
（2—10）
已 知 （ 7 ， 4 ） 循 环 码 的 生 成 多 项 式 和 校 验 多 项 式 分 别 为 ： g(x) x3 x 1 ， h(x) x4 x2 x 1。写得其生成矩阵和校验矩阵分别为：
RS 码的编码系统是建立在比特组基础上的，即字节，而不是单个的 0 和 1，因此它是非二进制 BCH 码，这使得它处理突发错误的能力特别强。
码长： n 2m 1 信息段： k n 2t （t 为纠错符号数） 监督段： 2t n k 最小码段： d 2t 1
最小距离为 d 的本原 RS 码的生成多项式为：g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2) 信息元多项式为：：m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1
是 子 空 间 S 的 一 个 码 字 ， 则 经 过 循 环 移 位 得 到 的 c(1) {cn1, c0 ,, cn2} 也同样是 S 中的一个
码字；或者，一般来说，经过 j 次循环移位后得到的 c( j) {cn j ,cn j1,,cn1,c0 ,c1,,cn j1} 也是
S 中的一个码字。
1）有信息码构成信息多项式 m(x)=mk-1xk-1+``````m0 其中高幂次为 k-1。 2）用 xn-k 乘上信息多项式 m(x)，得最高幂次为 n-1，做移位。 3）用 g(x)除 xn-km(x)和到余式 r(x)。 编码过程流程图：
3、译码原理：
1） 有接收到的 y(x)计算伴了随式 s(x)。 2） 根据伴随式 s(x)找出对应的估值错误图样。
end
四、RS 码在现代通信系统中的应用
RS 编码起源于 1960 年 MIT Lincoln 实验室，经历了数十年的发展，RS 码成为了研究最详尽，分 析最透彻，应用最广泛，研究成果最多的码类之一。 １、在井下通信中的应用：由于井下空间小，供电系统布置受到很大局限，电磁干扰现象也很严重， 通过选择合适的信道编码方式是抗干扰措施之一，可有效消除干扰，而由于 RSce 纠正 t 个 m 位的二 进制错误会符号，而不管这 t\个错误会符号是连续出现的还是离散出现，因此 RS 很适用于存在突发 错误信道中，如井下工作，对系统码率的降低和可靠性的提高起重要作用。
解码过程流程图：
初始化
由 R(x)确定 S(x)：
S(x)=0，无误码误 码否
由 S(x)确定错误图样 E(x)
纠错 c(x) E( X ) R( X )
存储 c(x)
4、纠错能力：
由于循环码是一种线性分组码，所以其纠检错能力与线性分组码相当。而线性分组码的最小距离 可用来衡量码的抗干扰能力，那么一个码的最小距离就与它的纠检错能力有关。
五、实验程序
1、循环码编码与解码 Matlab 源程序（实验以（7，4）循环码进行分析）
m = 3; n = 2^m-1; k = n-m; msg = randint(k*4,1,2);
%定义码长 %信息位长 %随机提取信号，引起一致地分布的任意整数矩阵
subplot(2,2,1)
stem(msg) title('编码器输入信号') p=cyclpoly(n,k) code = encode(msg,n,k,'cyclic',p);
井下采煤机与通信系统的硬件框图 ２、RS 码在 PDS 水声通信技术的应用 水声通信技术信道是随机时变空变的，其多途扩展产生的码间干扰直接影响到了水声通信的质量。而 RS 是一种扩展的非二进制 BCH 码，具有与 PDS 通信相结合的优势。 ３、RS 码在无线高保真音频传输系统中的应用 在无线音频传输中, 如果传输的数据出现误码, 则会在播放时出现噪声或者啸叫声, 所以想要确保得 到高保真的音频, 控制无线传输的误码率是必须的, 通常采用重传和纠错编码两种方法。重传机制对 无线信道的带宽要求更高, 这里采用 RS 纠错编码的方法来控制误码率。
x 对所有的 i=0,1,2,……k-1，用生成多项式 g(x)除 nki ，有： x n k i ai (x)g(x) bi (x)
（2—7）
式因成中此矩，阵bi (为xxn)：是kG i余式b100b(，ix()表x100是) 示 g0为(bxi),：n的000k倍1bbx式bkkn0,，12nk,,nn即1k kk1x11n kbi1,1
课程名称： 课程设计题目：
信息论与编码
循环码的编码和译码程序设计
指导教师： 系 别： 学 号： 合作者
专 业： 姓 名：
完成时间：
成绩：
评阅人：
一、实验目的：
1、通过实验了解循环码的工作原理。 2、深刻理解 RS 码构造、RS 编译码等相关概念和算法。
二、实验原理
1、RS 循环码编译码原理与特点