2019学年浙江省第一次五校联考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

选择题部分（共50分）参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P （A +B ）=P （A ）+P （B ） V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n （k ）=C kn p k （1－p ）n -k （k = 0,1,2,…, n ） 球的表面积公式 棱台的体积公式S = 4πR 2 )2211(31S S S S h V ++=球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积, V =34πR 3h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1．若全集U=R,集合M ＝{}24x x >，N ＝301x xx ⎧-⎫>⎨⎬+⎩⎭，则()UMN 等于A ．{2}x x <-B ．{23}x x x <-≥或C ． {3}x x ≥D ．{23}x x -≤<2．已知α∈（2π,π），sin α=53,则tan （4πα-）等于A ． －7B ． － 71C ． 7D ．713．若,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a 的取值范围是A ．()1,2-B ．()4,2-C ．(]4,0-D ．()2,4-0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距4．一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成120 角， 且12,F F 的大小分别为1和2，则有A ．13,F F 成90角B ．13,F F 成150角C ．23,F F 成90角D ．23,F F 成60角 5．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=->的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数 ()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为 A ．(,0)3π- B ． (,)44ππ- C ． (0,)3πD ．(,)43ππ 6．若()f x 是R 上的减函数,且(0)3,(3)1f f ==-，设{}1()3P x f x t =-<+<，{}()1Q x f x =<-，若“”x P x Q ∈∈“” 是的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是A ．0t ≤B ．0t ≥C ．3t ≤-D ．3t ≥-7．已知函数()2xf x =的定义域为[]b a ,)(b a <，值域为[]1,4，则在平面直角坐标系内，点),(b a 的 运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为A ．8B ．6C ．4D ．28．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2019项2012a 满足A ．20121010a <<B ．20121110a ≤< C ．2012110a ≤≤ D ．201210a >9．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567,,,,,,a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有A ．576B ．720C ．864D ．1152 10．已知321()3f x x x ax m =-++，其中0a >，如果存在实数t ,使()0f t '<， 则21(2)()3t f t f +''+⋅的值A ．必为正数B ．必为负数C ．必为非负D ．必为非正非选择题部分 （共100分）二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

11．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年 龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人 中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查， 则在［2500，3000）（元）月收入段 应抽出 ▲ 人．12．已知∈m R ，复数iim +-1为纯虚数（i 为虚数单位）， 则=m ▲ ．13．如右图程序框图，输出s= ▲ ． （用数值作答）14．已知n n n x a x a x a a ax ++++=+ 2210)1(，若41=a ，72=a ，则a 的值为 ▲ ． 15．设关于x 的不等式4|4|2+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ∉∈2,0，则实数m 的 取值范围是 ▲ ．16、已知向量()1,1sin θ=+a ，()1,cos θ=b ，42ππθ≤≤，则⋅a b 的取值范围是 ▲ ．17．已知数列{}n a 满足：n n n a a a a +==+211,21，用[x]表示不超过x 的最大整数，则122012111111a a a ⎡⎤+++⎢⎥+++⎣⎦的值等于 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ．已知2,3c C π==．（Ⅰ）若ABC △，试判断ABC △的形状，并说明理由； （Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．19．（本小题满分14分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分14分）若}{n a 是各项均不为零的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n N *∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）求n a 和n T ；（Ⅱ）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分15分）线段4||=BC ，BC 中点为M ，点A 与B ，C 两点的距离之和为6，设y AM =||，x AB =||． （Ⅰ）求)(x f y =的函数表达式及函数的定义域；（Ⅱ）设1-+=x y d ，试求d 的取值范围． 22．（本小题满分15分）设x m =和x n =是函数21()ln (2)2f x x x a x =+-+的两个极值点，其中m n <，a R ∈． （Ⅰ） 求()()f m f n +的取值范围； （Ⅱ）若2a ≥，求()()f n f m -的最大值． 注：e 是自然对数的底数．2019学年浙江省第一次五校联考数学（理科）答案一．选择题：1．B ． 2．A ． 3．B ． 4．A ．5．D ． 6．C ． 7．C ． 8．A ． 9．C ． 10．B ． 二．填空题：11．25；12．1m =；13．91； 14．12；15．)2,4[--；16．⎡⎢⎣⎦；17．1．三．解答题：18．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，又因为ABC △，所以1sin 2ab C =4ab =． 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =．故ABC △为等边三角形。

……………………..6分 （Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， …………8分 若cos 0A =，则2A π=，由2,3c C π==，得b =所以ABC △的面积12S bc ==………………………….11分 若cos 0A ≠，可得sin 2sin B A =，由正弦定理知2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =3b =．所以ABC △的面积1sin 23S ab C ==．………………………….14分 19．解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件AB ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==． 故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P AB P A P B ==⨯=··．…………4分 （Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·．………………8分 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=． （Ⅲ）ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==， 13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为………………………………12分ξ的数学期望17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………14分20．解：（Ⅰ）在221n n a S -=中，令1,2n =，解得11,2a d ==，…………2分从而21n a n =-，11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，于是11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦。