实变函数期末复习
4.右｛代｝是一闭集列，贝U A n 是
n 1
A.开集
B.
C.既非开集又非闭集
D.
5若f(x)可测，则它必是
A.连续函数
B.
单调函数
C
6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 A. 简单函数一定是可测函数
()
闭集
无法判断
()
简单函数
D.
简单函数列的极限
()
B. 简单函数列的极限是可测函数
C.
简单函数与可测函数是同一概念 D. 简单函数列的极限与
可测函数是同一概念
7设f(X )是可测集E 上的非负可测函数，则f(X ) ()
A.必可积
B.
必几乎处处有限
C. 必积分确定
D.
不一定积分确定
8设E 是可测集，则下列结论中正确的是
()
A.若｛ f n (x)｝在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数f (x)，则f n (x) —致收敛于f(x)
B. 若｛ f n (x)｝在E 上基本上一致收敛于 f(x)，则f n (x) a.e 收敛于f(x)
C. 若｛ f n (x)｝在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数 f (x)，则f n (x)基本上一致收敛于
f(x)
D. 若｛ f n (x)｝在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数f (x)，贝V f n (x)
f(x)
1•设A [丄
,2 n (1)n ],n 1,2,...则 A. lim A n n [0,1] B.
lim A (0,1] n
c. lim A n n (0,3] D. 皿 A n (0,3) n
2.设 A j {x : i x i -},i N ，则 A ,
2 i 1
A. (-1,1 )
B.[0,1]
C.
D.{0}
3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为 E 的
A.开集 B .
. 边界
C.
导集
D.
选择题 闭包
9设f(x)是可测集E上可积，则在E上
10 f (x)在可测集
E 上(L)可积的必要条件是，f (x)为
B 、几乎处处连续函数 D 、几乎处处有限的可测函数
1
11设D(x)为狄立克雷函数，则(L)°D(x)dx A 、 0 B 、 1
C 、1/2
D 、不存在
12 设{E n }
是一列可测集，E 1
E 2 E n
，且 mE 1
，则有 ()
(A ) m
n
1E n
lim mE n
n
(B)
m n1E n
lim mE n
n
(C ) m n1E
n
lim mE n ;
n
(D )以上都不对
13 设 A n
(0, n), n N ,则 lim n
A n
()
A 、 ①
B 、[0, n]
C 、R
D 、(0, )
14 设 A n 1
(0,—), n
n N ,则 lim n
A n
()
A 、 (0, 1)
1
B 、(0,-)
C 、{0}
D 、①、
填空题
7、设｛S i ｝是一列递增的可测集合，则 m(lim S n ) ________
n
A. f (X )与f (x)只有一个可积
B. f (x )与f (x)皆可积
C. f ( X )与f (x) 一定不可积
D.
f (x )与f (x)至少有一个可积
A 、连续函数 C 、单调函数
A =n,贝卩
B = _______
2、设 A 为 一集
合，
B 是A 的所有子集构成的集合；若
3、
若 A
c , B C ,则A
B
4、 若 A C , B 是一 -可数集， 则A B
5、
若 A c , B n ,则A B A 是一可数集，则B = __________
1、设A 为一集合, B 是A 的所有子集构成的集合；若 6
、若｛A n ｝是一集合列，且A n c , n 1 An ------------------------------------------------
& [a, b]上的连续函数及单调函数都是
9m* ( A i) m* A称为测度的___________
i 1 i 1
10、可测集E R n上的连续函数都是_________ 。
11、可测函数列的极限是 _______ 。
12、设f(x)在可测集E上可积，则mE[ f ]( )
三、判断题
1、任意集合都有子集。
()
2、E的孤立点必然属于E.()
3> lim A, {x|当n充分大以后都有x A n}..()
n
4、若mE ，且f n f，lim f n (x) f (x) a, e于E()
n
5、若r Q, E(f r)都可测，则f在可测集E上也可测.()
6、函数f(x)在E上可测，当且仅当对于每一个实数a,集合E(f a)可测.()
7、若mE 0，则E 一定是可数集()
8、设M是R n中的紧集，贝U M是R n中的有界闭集.()
9、若f(x)在可测集E上可测，则E( f )也可测。
()
10、若mE ，且f n f，lim f n(x) f (x) a, e 于E ()
n
11、设S,S2都可测，则S S2也可测，且m(S S2) mS mS2。
()
12、若f (x)在可测集E上可测，则f (x)在E的任意可测子集上也可测( )。
13、无限集的外测度一定不为零。
( )
14、若f (x)在可测集E上可测，则f(x)在E的任意子集上可测( )
15、若可测集A是可测集B的子集，且mB mA，则m(B A) 0 ()
16、若r Q,E(f r)都可测，则f在可测集E上也可测( )
17、若E可测，A 可测，且m(A E) 0 ，则mE m(E A)。
()
四、证明
3.设f是E上的可测函数，证明： a R,E {x| f(x) a}是可测集。
1证明(B A) A B的充分必要条件是A B
2.设A，B是二集合，A0 A, B0 B，若A〜B0且B〜A，则A〜E
3.设f是E上的可测函数，证明： a R,E {x| f(x) a}是可测集。
4.如果E「E2R n都是可测的，则E1 E2也是可测的。
5 设A A2是A 的子集，则有f(A A2) f(A) f(A2)(12 分)
6 任何无限集都包含一个可列子集( 15 分)
7 直线上一切端点为有理数的开区间组成一个可列集。
8证明：A为可数集，B为至多可数集，则A B是可数集. 9证明：若m* E 0 ,则E可测.
解析题
设S {1,2,3,4}, A {{1,2},{3,4}} ，求F(A)。