(50 × 60+ 100 × 250) − (50 × 50+100 × 250) = 500，500 / 10 = 50（元） 说明在一定范围内每增加（或减少）1 个台时的设备能力就可增加（或
减少）50 元利润，这称为该约束条件的对偶价格。
B.假设原料 A 增加 10 千克，即 b2 变化为 410，这时可行域扩大，但最 优解仍为 x2 = 250 和 x1 + x2 = 300 的交点 x1 = 50，x2 = 250。此变化对总利 润无影响，该约束条件的对偶价格为 0。 解释：原最优解没有把原料 A 用尽，有 50 千克的剩余，因此增加 10 千克只增加了库存，而不会增加利润。 在一定范围内，当约束条件中常数项增加 1 个单位时， （1）若约束条件的对偶价格大于 0，则其最优目标函数值得到改善
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《管理运筹学》复习提纲
第一章 绪论（P1-P9) 1.决策过程（解决问题的过程） （1）认清问题。 （2）找出一些可供选择的方案。 （3）确定目标或评估方案的标准。 （4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等。 （5）选出一个最优的方案：决策。 （6）执行此方案：回到实践中。 （7）进行后评估：考察问题是否得到圆满解决。 其中： （1）（2）（3）形成问题。 （4）（5）分析问题：定性分析与定量分析，构成决策
2.运筹学的分支：线性规划、整数线性规划、动态规划、图与网络模型、存储论、排队论、 排序与统筹方法、决策分析、对策论、预测、目标规划，此外，还有多目标规划、随机规划、 模糊规划等。 3.运筹学在工商管理中的应用 1）生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、配料问题、
物料管理等，追求利润最大化和成本最小化。 2）库存管理：多种物资库存量的管理，某些设备的库存方式、库存量等
的确定。 3）运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输工具的调度
以及建厂地址的选择等。 4）人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、人员合理分
配，建立人才评价体系等。 5）市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售计划制定等。 6）财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现金管理等。 此外，还有设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等。
3.学习管理运筹学必须使用相应的计算机软件，必须注重学以致用的原则。
第二章 线性规划的图解法(P10-P26) 1.一些典型的线性规划在管理上的应用
合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少； 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润； 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大； 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大； 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要； 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。
化为标准形式。 7.为了使约束由不等式成为等式而引进的变量 s，当不等式为“小于等 于”时称为“松弛变量”；当不等式为“大于等于”时称为“剩余变量”。 如果原问题中有若干个非等式约束，则将其转化为标准形式时，必须对各 个约束引进不同的松弛变量或剩余变量。
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9.灵敏度分析：在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一 个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化时，对最优解产生的影响。 一、目标函数中的系数 c例 1 的数学模型中再增加一个约束条件 4x1+3x2
≥1200，则可行域为空域，不存在满足约束条件的解，当然也就 不存在最优解了。 5.线性规划的标准化
6.线性规划的标准形式有四个特点： —目标最大化； —约束为等式； —决策变量均非负； —右端项非负。 对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可以通过变换，将其转
4.重要结论 —如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最 优解； —无穷多个最优解。若将例 1 中的目标函数变为 max z=50x1+50x2， 则线段 BC 上的所有点都代表了最优解； —无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大 或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束
一般形式 目标函数：max（min）z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn 约束条件：s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤（=, ≥）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤（=, ≥）b2
…… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤（=, ≥）bm
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二、约束条件中常数项 bj 的灵敏度分析 当约束条件中常数项 bj 变化时，线性规划的可行域发生变化，可能
引起最优解的变化。
A.考虑例 1 的情况： 假设设备台时增加 10 个台时，即 b1 变化为 310，这时可行域扩大，
最优解为 x2 = 250 和 x1 + x2 = 310 的交点 x1 = 60，x2 = 250。 变化后的总利润 − 变化前的总利润 = 增加的利润
2.线性规划的组成 目标函数：max f 或 min f ；
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约束条件：s.t. (subject to)，满足于； 决策变量：用符号来表示可控制的因素。 3.建模过程 （1）理解要解决的问题，明确在什么条件下，要追求什么目标。 （2）定义决策变量（x1 ，x2 ，…，xn），每一组值表示一个方案。 （3）用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化 目标。 （4）用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵循的 约束条件。
x1 ，x2 ，… ，xn ≥0 对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可以在平面直角坐标系上作图表示 线性规划问题的有关概念，并求解。下面通过例 1 详细介绍图解法的解题过程
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取各约束条件的公共部分（如图 2-1（f） 所示）。
目标函数 z = 50x1 + 100x2，当 z 取某一固定值时得到一条直线， 直线上的每一点都具有相同的目标函数值，称之为“等值线”。平行移动 等值线，当移动到 B 点时，z 在可行域内实现了最大化。A、B、C、D、E 是可行域的顶点，有限个约束条件其可行域的顶点也是有限的。 线性规划的标准化内容之一—引入松弛变量（资源的剩余量） 例 1 中引入 s1，s2，s3，模型变化为：