三角形内角和定理的应用
张水华
三角形内角和定理及其推论表明了三角形的内角之间、内角与外角之间的关系。

这些关系对于解答有关三角形角的问题有着很重要的作用。

下面举例说明它在解题中的若干应用。

1. 求三角形中角的度数
例1 已知△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求各内角的度数。

分析：这个比例式是以后学习中经常遇到的。

我们知道，三角形的内角和是180°，如果将角的比例式转化为每一个角的度数，问题就可解决。

设参数是个好方法。

解：设∠A 、∠B 、∠C 的大小分别为2x °、3x °、4x °.
根据三角形内角和定理，得180x 4x 3x 2=++
解得x=20
∴∠A=2×20°=40°，∠B=3×20°=60°，∠C=4×20°=80°。

例2 如图1，在△ABC 中，∠A=50°，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，求∠BOC 的度数。

图1
分析：在△BCO 中，若知道∠1与∠2的度数和，可求出∠BOC 的度数。

在△ABC 中，已知∠A 的度数，可求出∠ABC 和∠ACB 的度数和，进而可求出∠1与∠2的度数和。

解：如图1，由三角形内角和定理，得
∠ABC ＋∠ACB=180°－∠A=130°
又由题设知∠1=
21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1＋∠2=
21∠ABC ＋21∠ACB =
21（∠ABC ＋∠ACB ） =2
1×130° =65°
∴∠BOC=180°－（∠1＋∠2）=180°－65°=115°。

2. 求特殊图形中某些角的度数之和
例3 如图2，求五角星的五个顶角的度数之和。

图2
分析：观察图2可发现，∠2=∠B ＋∠D ，∠1=∠E ＋∠C ，这样将五个角的度数集中到一个三角形中。

解：由三角形内角和定理的推论，得
∠B ＋∠D=∠2，∠C ＋∠E=∠1
∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E
=∠A ＋∠2＋∠1=180°
3. 确定角与角之间的关系
例4 如图3，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线，它们交于O 点，则∠DOC 与∠ABE 的关系是（ ）
A. 相等
B. 互余
C. 互补
D. 无法判断
图3
分析：观察图3，∠1＋∠2＋∠ABE 是△ABC 内角和的一半，即90°。

又∠DOC 是△OAC 的一个外角，所以∠DOC=∠1＋∠2，那么∠DOC ＋∠ABE=90°。

解：∵∠DOC=∠1＋∠2=
21∠BAC ＋21∠BCA =2
1（180°－∠ABC ） =90°－
21∠ABC =90°－∠ABE
∴∠DOC ＋∠ABE=90°，即两角互余，故应选B 。