目录
双重积分2
专题一、计算双重积分2题目类型1、计算二重积分2
1.1选定坐标系和积分次序进行计算2
1.2需分块（区域）计算2
a)被积函数含有绝对值符号4
b)被积函数含有最值符号5
c)被积函数是分段给出的5
d)被积函数为取整函数5
e)被积函数为符号函数5
f)积分区域上下和左右边界曲线均由两个不同的函数表示5
g)确定二重积分正符号有时需适当地划分积分区域进行估算5
题目类型2、变换积分次序5
2.1 直接要求变换积分次序3
2.2 隐性需要变换积分次序（原次序积不出）3
题目类型3、证明题（实质是从一边算起）6专题二、对称性6专题三、极坐标6专题四、证明题6
双重积分
专题一、计算双重积分 题目类型1、计算二重积分
1.1选定坐标系和积分次序进行计算
P299[95-2]计算二重积分
2
D
x
ydxdy ⎰⎰其中D 是由曲线围成：22:1,0,1D x y y y -===。

[97-4] D:是以点O(0,0), A(1,2)和B(2,1)为顶点的三角形，求
D
xdxdy ⎰⎰。

1.2计算前需交换次序
（1）交换积分次序是二重积分最关键的技巧 （2）交换积分次序是二重积分最重要的题型
1.2.1直接要求变换积分次序
基本步骤
a) 根据积分上、下限画出积分区域D 的草图,不可漏掉部分，要绝对正确
b) 变换前，检查或调整上下限顺序，化为标准的二次积分。

标准的二次积分下限必须小于上限必
须小于上限。

c) 若是极坐标，d ρ前不可漏掉ρ。

d) 交换积分次序
[01-1]交换积分的次序：
11
2
(,)y
dy f x y --=⎰
⎰
例：交换积分次序I=
2sin 0
(,)x
dx f x y dy π
=⎰
⎰
1.2.2 隐性需要变换积分次序（原次序积不出）
2
x e dx ±⎰,/y x
e dx ⎰,cos x dx x ⎰
,sin x
dx x
⎰,sin k x dx ⎰,cos k x dx ⎰(2)k ≥,sin y dx x ⎰,1dx lnx ⎰因原
函数不是初等函数，故先积x 积不出来。

变换次序后，可消去不良部分，得出结果。

[90-1]
2
2
2
y x
dx e dy =⎰
⎰
[88-3.4] 66
cos y
x
I dy dx x
ππ
=
=⎰
⎰ [88-1.2]
2
4
2
1
2
22x
x
x
dx dx dx y
y
ππ+=⎰
⎰
[92-1.2]
1121112
2
4
y y x
x
y
dy dx dy dx +=⎰
⎰⎰
[070201(8)] [010101(3)] [880307] [950103(2)] [040102(10)] [040202(12)] [060202(11)] [06010208] [070201(8)] [090201(04)]
1.2需分块（区域）计算 a) 被积函数含有绝对值符号
（1） 为去掉绝对值所以分块
（2） 分块的原则区域不相交，每个子区域上被积函数取值不变号 （3） 常用被积函数中绝对值等于0的曲线将积分区域分成两部分
[MP241总7.1(1)] cos(),D
x y d σ+⎰⎰D 由,0,2
y x y x π
===
所围成。

b)被积函数含有最值符号
c)被积函数是分段给出的
d)被积函数为取整函数
e)被积函数为符号函数
f)积分区域上下和左右边界曲线均由两个不同的函数表示
g)确定二重积分正符号有时需适当地划分积分区域进行估算
题目类型2、变换积分次序
内容见专题一、1.2项。

题目类型3、证明题（实质是从一边算起）
专题二、对称性
首先确认积分域全部或其部分是否具有对称性，再考察(,)
的对称性。

z f x y
专题三、极坐标
专题四、证明题。