得������������ = ������������(������1, ⋯ , ������������)之后代入，以完成变量代换。这个方程可解的条件是
det
(������������������������������������)
=
det
������2������ (������������������ ������������������ )
称������(������, ������, ������)为哈密顿量或者哈密顿正则函数。
广义能量函数和哈密顿量是同一个物理量，只是自变量不同。
4. 保守系统的 HAMILTON 方程
对广义能量函数微分，
������������(������, ������, ������̇ ) = ������{������������������̇������ − ������(������, ������, ������̇ )}
������ ������������ ＋������̇ ������ ������������������
利用广义动量的定义������������ = ������������/������������̇������消去������������̇������项，再由拉氏方程
������������ ������ ������������ ������������������ = ������������ ������������̇������ = ������̇������
得
3 / 37
对哈密顿量微分
������������(������,
������,
������̇ )
=
−
������������ ������������
������������
−
������̇������ ������������������ ＋������̇ ������ ������������������
���������⃗���1(������, ������) ������������������
,
���������⃗���2(������, ������������������
������)
,
⋯
,
���������⃗���������(������, ������������������
������)
⋅
���������⃗���������(������, ������������
������)
������̇ ������
+
1 2
������
∑
������=1
������������
���������⃗���������(������, ������������
������)
⋅
���������⃗���������(������, ������������
������2������(������, ������, ������̇ ) ������������̇ ������ ������������̇ ������
是对称正定矩阵，行列式非零。
当拉格朗日力学被应用到非力学系统时，上述证明不适用。但一般来说，系统仍然是非奇异 的。
将拉格朗日方程变换为哈密顿方程，所需的变换为 Legendre 变换。
−
������������ ������������
������������
−
������̇������ ������������������ ＋������̇ ������ ������������������ ＝
������������ ������������
������������
+
������������ ������������������
≠
0
补充习题：证明 Legendre 变换是对合的（involutive），即对������(������)进行 Legendre 变换，可得������(������)。
3. HAMILTON 正则函数
对拉氏量������ = ������(������, ������, ������̇ )作 Legendre 变换
两者相等，
������������ ������������������� Nhomakorabea����
������������(������, ������, ������) = ������������ ������������ + ������������������ ������������������ + ������������������ ������������������
������)
������2������(������, ������, ������̇ ) ������������̇ ������ ������������̇ ������
=
������2������(������, ������, ������̇ ) ������������̇ ������ ������������̇ ������
第 7 章 HAMILTON 力学
一、 HAMILTON 方程
������个的 2 阶常微分方程等价于2������个 1 阶常微分方程，例如牛顿方程可以改写成
���⃗��� = ���������⃗���̈ ⇔
���������⃗��� ������������
=
���⃗���
���������⃗���
⋅
���������⃗���������(������, ������) ������������������
������̇ ������ ������̇ ������
+
������
∑
������=1
������������
���������⃗���������(������, ������) ������������������
=
det
������2������(������, ������, ������̇ ) ( ������������̇������������������̇������ )
≠
0
������(������, ������, ������̇ ) = ������(������, ������, ������̇ ) − ������(������, ������)
补充习题：考虑带电粒子在电磁场中的拉氏量，证明 Legendre 变换是可行的。
2. LEGENDRE 变换
设函数������ = ������(������1, ⋯ , ������������)，记梯度为
引进函数
������������ ������������ ≝ ������������������
������(������1, ⋯ , ������������) ≝ ������������������������ − ������(������1, ⋯ , ������������) 等式右边的������������必须通过求解方程组
2 / 37
������������ ������������ = ������������������
������������(������, ������, ������̇ ) ������������ = ������������(������, ������, ������̇ ) = ������������̇������ 这些变量被看成是2������维相空间的坐标，������������称为正则坐标，������������称为正则动量，(������������, ������������)称为一对共 轭的正则变量。
不全为 0，否则说明广义坐标改变时，质点组的位形没有变化，
Δ���⃗���������
=
���������⃗���������(������, ������) ������������������
Δ������������＝0,
即广义坐标有奇异性。所以
������ = 1,2, ⋯ , ������
哈密顿力学与量子力学有更直接的对应关系。
相比拉格朗日力学，哈密顿力学的缺点是不协变，对简单问题求解比拉氏方程麻烦。
1. 相空间
除了时间，拉氏量������ = ������(������, ������, ������̇ )的自变量是广义坐标和广义动量
������������, ������̇������, ������ = 1,2, ⋯ , ������. 在哈密顿力学中，自变量取为广义坐标������������和广义动量
=
������
∑
������=1
������������
���������⃗���������(������, ������) ������������������
⋅
���������⃗���������(������, ������) ������������������
恰当定义的（well-defined）广义坐标，对任意������ = 1,2, ⋯ , ������, 偏导数
������������(������, ������, ������̇ ) ������������ = ������������̇������ 反解出������̇������(������, ������, ������)，代入������(������, ������, ������̇ )的表达式， ������(������, ������, ������) = ������(������, ������, ������̇ (������, ������, ������))