�����!" ������! ������! − ������! ������!" ������! ������! 2
≡ ������! , ������! ! 是振子的直角坐标， 转动矩阵������(������!! = ������! = ������, ������! = 1)
!" !
!"
!
!
������ !"
!
… …3 分
因不显含 Q，故 P 是守恒量。 正则方程为… …3 分 ������ = ������������ ������ ������ !" = ������ !!" − ������ ������������ ������ ������ ������ = 0
方法 1：利用基本对易关系 1 1 ! 1 ! ! ������! , ������ = ������ ! ������������������ + ������������! ������ ! , ������ ������������ + ������������! ������ ������������ 2 2������ 2 1 ! 1 1 1 ! ! ! = ������ ! ������������������, ������ ������������ + ������ ! ������������������, ������������! ������ ������������ + ������������! ������ ! , ������ ������������ 2������ 2 2 2������ 1 1 ! ! + ������������! ������ ! , ������������! ������ ������������ 2 2 1 ! 1 1 1 ! ! ! = ������ ! , ������ ������������ ������������������ + ������ ! ������������ ������, ������������! ������ ������������ + ������������! ������ ! , ������ ������������ + 0 2������ 2 2 2������ 1 1 ! = ������! ������������������������ − ������ ! ������������ ������������! ������������ + ������! ������ ! , ������! ������ ������ ������ ������ 4 1 ! 1 ! ! = ������ ������������ − ������������! ������ −������ ������ + ������! ������! ������! , ������! ������ ������ ������ ������ 2 = 0 − 0 + ������! ������ ! ������ ������ ������ = ������! ������ ! ������������ … …5 分 又由 ������������ = ������! 得
! !
sin ������! ������ cos ������! ������
cos ������! ������ − sin ������! ������
! ,! ! !
1 ������������ !" ������! ������! + ������������! 2
!
������!!
! !!
一、 （20 分）在有心力场中由于对称性，质点的轨道位于一个平面内，不妨假设 该平面为������������平面。试求质点在有心力场������ = ! ������������ ! = ! ������(������ ! + ������ ! )中的运动轨道， 其中������为常数。 解：该系统为空间振子，其拉格朗日量为： ������ = ! ������ ������ ! + ������ ! + ! ������ ������ ! + ������ ! … …5 分 代入欧拉-拉格朗日方程得： ������������ + ������������ = 0, ������������ + ������������ = 0 … …5 分 动力学方程的解为： ������ = ������! cos ������������ + ������!" , 其中������! = !，不妨令： ������������ + ������!" ≡ ������, ������������ + ������!" ≡ ������ + ������ 则： ������ = ������! cos ������ , ������ = ������! cos ������ + ������ = ������! (������������������������������������������������ − ������������������������ sin ������ ) 解得： ������������������������ = ������ , ������! ������������������������ = − ������ ������ + ������������������������ ������! ������������������������ ������!
为实对称矩阵，定义为： ������ ������ = （1） 写出广义动量������的表达式； （2） 作勒让德变换，写出系统的哈密顿量������ ������, ������, ������ ； （3） 利用泊松括号，检验物理量 1 ������! = ������ ������������������ + ������������! ������ ! = 2
! !!
= sin! ������ … …4 分
这是一个以原点为中心的椭圆。当������ = 0, ������时，椭圆方程退化为直线方程：
! !!
∓!
! !
!
= 0 … …1 分
二、 （20 分）已知一维系统的拉格朗日函数为（其中������, ������, ������均是大于 0 的常数）: ������ ������, ������, ������ = ������ !" 1 ������������! − ������������������ 2
������ !" ������������ + ������������������ = ������ − ������ !" + ������ … …3 分
!" !
������ !" ������ + ������������ = ������������ (������, ������, ������)
这个拉格朗日函数可用于描述一个质量为������的质点，在势场������ ������ = ������������������ 中做一
维运动、且受到正比于其速度的阻力−������������������ 的情况。 （1）求系统的哈密顿函数； （2）证明变换������ = ������, ������ = ������ +
!
0 −1 , 并且： 1 0
= 1,
������!! = ������
������������ = ������ ������ ������ 作勒让德变换，得哈密顿量 1 1 ! ! ������ = ������ ⋅ ������ − ������ = ������ ⋅ ������ − ������������ ! ������ ������ ������ + ������������! ������ ������ ������ ������ 2 2 1 ! 1 ! ! = ������ ������ ������ ������ + ������������! ������ ������ ������ ������ 2������ 2 （3）先计算泊松括号，
!" !
������ !" 为正则变换，并得到母函数������ (������, ������, ������)；
（3）求正则变换之后的哈密顿函数������ (������, ������, ������)，并由������ 给出正则方程，进一步求 解 q(t)，其中初始条件为：������ ������ = 0 = ������! , ������ ������ = 0 = 0。 解：由拉格朗日函数得到的方程为 ������ !" ������ ������������ + ������������������ ������ !" = 0 ������������ (1) ������ = !! = ������ !" ������������，… …2 分 ������ ������, ������, ������ = ������������ − ������ = ������ !" (! ������������! + ������������������ ) = ������ !!" !! ������! + ������������������ ������ !" … …3 分 (2) 易知：������ = ������ −
! !! !"
cos ������! ������ −sin ������! ������
是 不 是 守 恒 量 ， 其 中 反 对 称 矩 阵 ������ (������!" = −������!" ) 定 义 为 ������ = ������������������ = −������。 解： （1）广义动量… …5 分 ������ = ������������ ������ ������ （2）解出广义速度… …5 分 ������ ������