2012学年普陀区九年级数学期终调研试卷 2012.12.26（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如果:2:3x y =，那么下列各式不成立的是………………………………………（ ）． （A ）53x y y += ； （B ） 13x y y -=-； （C ）123x y =； （D ）1314x y +=+． 2．某一时刻，身髙1.6 m 的小明在阳光下的影长是0.4 m ，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m ，那么该旗杆的高度是……………………………………………………（ ）． （A ）1.25m ； （B ）10m ；（C ）20 m ； （D ）8m ．3．如果二次函数2y x bx c =++配方后为2(2)1y x =+-，那么b ， c 的值分别为…（ ）． （A ）4-，5； （B ）4，3； （C ）4-， 3； （D ）4，5． 4．如图，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ， B 均在抛物线上，且AB与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ）． （A ）（2，3）； （B ）（4，3）； （C ）（3，3）； （D ）（3，2）．5．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为……………………（ ）． （A ） 12； （B ）55； （C ）255； （D ） 1010．6. 已知线段a 、b 、c ，求作第四比例线段x ，下列作图正确的是……………………（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）Oxy Ax = 2B（第4题）（第5题）a xbc acb x xcb a cax b二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果在比例尺为1︰1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是1.6厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 千米．8．把长度为4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm ．9．如果两个相似三角形的对应角平分线比是1︰4，那么它们的周长比是 ． 10．如果抛物线21)21y m x m x =-++（的图像开口向下，那么m 的取值范围是__________． 11．将二次函数22y x =-的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式为 ________________．12．二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，则m 的值为__________ ．x 2-1- 0 1 2 3 4y72 1- 2-m2713．在Rt △ABC 中，∠C =90°，B α∠=，A B=2，那么BC = _____________．（结果用α的锐角三角比表示）14．如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，那么与DF相等的向量是__________ ．15．如图，点G 是△ABC 的重心，AG ⊥GC ，AC =4，那么BG 的长为 ___________． 16．如图，△ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，cot 23A =，那么△ABC 的面积是____________ cm 2．17．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，那么AC 的长度是cm ．18. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝23，那么四边形MABN 的面积是______________．（第14题）（第15题）（第16题）三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算： 2cot 30cos30(sin 60)2cos 45︒︒⋅︒-⋅︒．20．（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量a 、b ．先化简，再求作：13(3)()22a b a b +-+．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题满分10分）已知：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，AB=AD =25，BC =32．连接BD ，AE ⊥BD ，垂足为点E ． （1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）求线段AE 的长．22．（本题满分10分）ba（第20题图）（第21题）（第22题）21.3,0 63.5929sin21.3,tan 21.3,sin 63.5,tan 63.52)25510A CBC C ︒︒︒≈︒≈︒≈︒≈ 一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北方向有一座小岛继续向东航行8海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北方向上。

之后，轮船继续向东航 行多少海里，距离小岛最近？（参考数据：CAB23．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分, 第（3）小题5分）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ， EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为点G ， BG 交AE 于点H ．（1）求证：△ABE ∽△ECF ；（2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 中点，BC =2AB ，AB =2，求EM 的长．24．（本题满分12分，其中第（1）小题2分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）（第23题）如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕 点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ， 使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍，得△AB′C ′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n ]．（1）如图①，对△ABC 作变换[60°，3]得△AB′C′，那么AB C ABCS S ''∆∆= ； 直线BC 与直线B′C′所夹的锐角为 度．（2）如图②，△ABC 中，∠BAC =30°，∠ACB =90°，对△ABC 作变换[θ，n ]得△AB'C'， 使点B 、C 、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n 的值．（3）如图③，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =36°，BC =l ，对△ABC 作变换[θ，n ]得△AB′C′，使点B 、C 、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n 的值．（第24题）2012学年普陀区九年级数学期终调研试卷参考答案及评分说明一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(D)； 2． (C)； 3．(A)； 4．(B)； 5．(B)； 6．(D)．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．16； 8．(252-)； 9．1︰4； 10．1m <； 11．22(1)2y x =---；12．1-； 13．2cos α； 14．EA 和CE； 15．4； 16．12； 17．210 ； 18．183．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19.解：原式2333()22222=⨯-⨯……………………………………………………（4分）33324=⨯- ………………………………………………………………（4分） 538=-． …………………………………………………………………（2分） 20. 解： 13(3)()22a b a b +-+13322a b a b =+--………………………………………………………（1分）2a b =-+…………………………………………………………………（4分）画图正确4分（方法不限），结论1分．21.（1）证明：∵AB=AD =25，∴∠1 =∠2.……………… (1分)∵AD ∥BC ，∴∠1=∠3.……………………(1分) ∴∠2=∠3. …………………………………(1分)∵AE ⊥BD ，∴∠AEB =∠C =90°. ………………………(1分) ∴△ABE ∽△DBC . ………………………(1分)（2）解：∵AB=AD ，又AE ⊥BD ，∴BE=DE .∴BD =2BE .…………………………………………………………………(1分)由△ABE ∽△DBC ，得AB BEBD BC=. ……………………………………(1分) ∵AB=AD =25，BC =32，∴25232BEBE =. ∴BE =20． ………………………………………………………………(2分)∴22AE AB BE =-222520=-(2520)(2520)=+⨯-=15． ……………………………………………………………………(1分)12 322．解：过点C 作CD ⊥AE ，垂足为点D ，此时轮船离小岛最近，BD 即为所求．………(1分) 由题意可知：∠A =21.3°，AB =80海里，∠CBE =63.5°．…(1分)在Rt △ACD 中，tan ∠A =CD AD =25，……………………………………………(1分) 2(80)5C D B D =+；………………………………………………………(1分) 同理：2CD BD =；………………………………………………………………(2分) ∴22(80)5BD BD =+，…………………………………………………………(2分) 解得： 20BD =．…………………………………………………………(1分)C 答：轮船继续向东航行20海里，距离小岛最近. ……………………………………(1分)23．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE =∠ECF =90°．………………(1分)∵AE ⊥EF ，∴∠1+∠2=90°． 又∵∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2， …………………………(1分)∴△ABE ∽△ECF ． …………………(1分) （2）答：△ABH ∽△ECM ．………………………(1分) 证明：∵BG ⊥AC ，∠ABE =90°， ∴∠4+∠BAG =∠5+∠BAG = 90°． ∴∠4=∠5．………………………………………………………………………(1分) 由（1）知，∠3=∠2，…………………………………………………………(1分) ∴△ABH ∽△ECM ．………………………………………………………………(1分) （3）解：过点M 作MR ⊥BC ，垂足为R ．…………………………………………………(1分) ∵AB=BE=EC =2，∴AB ∶BC =MR ∶RC =1∶2，…………………………………………………… (1分) ∠1=45°，CR =2MR ， ∴∠2=45°，………………………………………………………………………(1分) ∴ER=MR ， ………………………………………………………………………(1分)∴MR =23，∴222233EM =⨯=．……………………………………………(1分)1 2 345 CAB DE24. 解：（1）如图，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为的点C ．(1分) ∵∠AOB =120°，∴∠BOC =60°．又∵OA=OB =4，∴=2OC ，=23BC ．∴点B 的坐标为（﹣2，﹣23）．…………………………………………………(2分) （2）∵抛物线过原点O 和点A 、B ，∴可设抛物线的解析式为2(0)y ax bx a =+≠，……………………………………(1分) 将A （4，0），B （﹣2，﹣23）代入，得1640,422 3.a b a b +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ……………………………………………………………………(2分) 解得3,623.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴此抛物线的解析式为32363y x =-+．………………………………………………(2分) （3）存在．……………………………………………………………………………………(1分) 解：如图，抛物线的对称轴是x =2，直线x =2与x 轴的交点为D ，设点P 的坐标为（2，y ）．①若OB=OP ，则22+|y |2=42，解得y =±23， 当y =23时，在Rt △POD 中，∠PDO =90°， sin ∠POD =PDOP32=，∴∠POD =60°． ∴∠POB =∠POD +∠AOB =60°+120°=180°，即P 、O 、B 三点在同一直线上．∴y =23不符合题意，舍去．∴点P 的坐标为（2，﹣23）．………………………………………………………(1分)②若BO=BP ，则42+|y +23|2=42，解得y =﹣23．∴点P 的坐标为（2，﹣23）．……………………………………………………………(1分) ③若PO=PB ，则22+|y |2=42+|y +23|2，解得y =﹣23．∴点P 的坐标为（2，﹣23）．……………………………………………………………(1分)综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，﹣23）．…………………(1分) 25.解：（1） 3；60． …………………………………………………………………………(2分) （2）∵四边形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°．………………………………………(1分)∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC =90°﹣30°=60°．……………………………………(1分) 在 Rt △AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B =30°．…………………（1分） ∴AB′=2 AB ，即2AB n AB'==．……………………………………………………（1分）（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′．又∵∠BAC =36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB =72°． …………………………………（1分） ∴∠C′AB′=∠BAC =36°． …………………………………………………………（1分） 而∠B =∠B ，∴△ABC ∽△B′BA ． ………………………………………………（1分） ∴AB ∶BB′=CB ∶AB ． ……………………………………………………………（1分） ∴AB 2=CB•BB′=CB （BC +CB′）． …………………………………………………（1分） 而 CB′=AC=AB=B′C′，BC =1，∴AB 2=1（1+AB ），………………………………（1分） 解得，AB152±=．…………………………………………………………………（1分） ∵AB ＞0，∴512BC n BC '+==．…………………………………………………（1分） （以上各题，若有其他解法，请参照评分标准酌情给分）。