24.1.3 弧、弦、圆心角一、教学目标（一）学习目标1.探索圆的中心对称性2.了解圆心角的概念，探索并掌握在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等3.掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题（二）学习重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．（三）学习难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务(1)旋转的三要素是旋转中心，旋转方向，旋转角度180，它能够与另一个图形重合，那么这(2)中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转两个图形关于这个点成中心对称.2.预习自测（1）圆是图形，也是图形【知识点】圆的中心对称性与轴对称性【答案】轴对称中心对称【解题过程】圆既是轴对称图形又是中心对称图形【思路点拨】圆既是轴对称图形又是中心对称图形（2）圆的对称中心是．【知识点】圆的中心对称性【答案】圆心【解题过程】圆是中心对称图形，由于它绕着圆心旋转180°后和原图形重合，所以圆的对称中心是圆心【思路点拨】根据中心对称图形的定义找到圆的对称中心（3）如图，已知O O '与的半径相等，若A O B A O B'''∠=∠，则________A B A B ''，________A B A B''（填“>”、“<”或“=”）【知识点】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．【答案】= =【解题过程】A O BA O B'''∠=∠,A BA B ''∴=,A B A B ''= 【思路点播】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等(4)已知O 与O '半径相等，若A B A B''=，则________A O B A O B '''∠∠，（填“>”、“<”或“=”）【知识点】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．【答案】=【解题过程】A BA B ''=，O A O A ''=,O B O B ''=,A O B ∴∆≌A O B '''∆，A O BA O B'''∴∠=∠ 【思路点拨】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等（二）课堂设计1.知识回顾（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧2.问题探究探究一 圆的中心对称性活动①以旧引新想一想：这些现象说明了什么？现象一：一块圆形的蛋糕，糕点师只要过圆心点在互相垂直的两个方向上切两刀，不管糕点师站在哪里，分成的四块一定是均等的. 这个现象跟圆的哪个性质有关？学生抢答答案：现象一说明对折后能够完全重合，只要是过圆心的直线，分成的两部分均对称，说明圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线.【设计意图】复习回顾圆的轴对称性，为引发新知识铺垫现象二：机械式闹钟上钟时，每次只要转动发条上的钟钮180︒时，看上去跟没转动以前是一个样的.这个现象跟圆的哪个性质有关？现象二说明钟钮左右两端转动180︒后完全重合，而两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆是中心对称图形，对称中心是圆心.【设计意图】整合旧知识，探索圆的中心对称性活动②归纳概括想一想：由以上现象，概括圆的对称性结论：1. 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2. 圆是中心对称图形，对称中心为圆心.探究二圆心角、弧、弦之间的关系★▲活动①大胆操作探究新知识1.按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB ＝∠A ′O ′B ′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB ＝∠OBA ＝∠O ′A ′B ′=∠O ′B ′A ′；由△AOB ≌△A ′O ′B ′，可得到AB ＝A ′B ′；由旋转法可知''AB AB =． 在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA 与O ′A ′重合时，由于∠AOB ＝∠A ′O ′B ′．这样便得到半径OB 与O ′B ′重合．因为点A 和点A ′重合，点B 和点B ′重合，所以A B 和''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合，即''A B AB =，AB =A ′B ′．进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．【设计意图】大胆猜想，大胆操作，激发学生兴趣，探究新知识活动② 集思广益 证明新知根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题．【设计意图】创设问题情境，集思广益，证明新知识活动③ 反思过程 发现定理定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．如图，虽然∠AOB =∠A ′O ′B ′，但AB ≠A ′B ′，弧AB ≠弧A ′B ′．教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉．小结：弦、圆心角、弧三量关系，在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，那么其他的量也对应相等【设计意图】反思过程，发现定理，重新认识，拓展创新探究三 圆心角、弧、弦之间关系定理的应用活动① 旧题新解例1.如图，O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件 （写出一个即可），就可得到M 是AB 的中点.【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】补入的条件是：C D A B⊥或A C B C A D B D ==或. 【思路点拨】对开放性逆向思维的题目，首先应依题意抓住问题适合的依据定理，再由定理和题设补充条件.【答案】C D A B⊥或A C B C A D B D ==或. 练习：如图，CD 是O 的直径，AB 是弦，C D A B⊥于M ，则可得出A MM B =，A C B C =等多个结论，请你按现有图形给出其他两个结论.【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】另两个结论是：A C B C=，A D B D =. 【思路点拨】对开放性思维的题目，首先应依题意抓住已知条件，再由定理和题设得到结论.【设计意图】复习垂径定理，同时利用新知识解决旧问题活动② 集思广益 求解角度例2.如图，在⊙O 中，A B A C =，∠ACB ＝60°，求证∠AOB =∠AOC =∠BOC ． OAB C【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】∵ AB AC = ∴ AB =AC ，△ABC 是等腰三角形．又 ∠ACB ＝60°，∴ △ABC 是等边三角形，AB =BC =CA ．∴ ∠AOB =∠AOC =∠BOC ．【思路点拨】由A B A C =，有A B A C=，可得△ABC 是等边三角形，AB =AC =BC ，所以得到∠AOB =∠AOC =∠BOC ．练习．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，求∠BOD 的度数．【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是∠BOD＝23×180°＝120°【思路点拨】求圆心角度数，可先求出该圆心角度数所对弧的度数【答案】120°【设计意图】利用圆心角、弧、弦之间关系定理解决圆中简单的角度问题活动③大胆探索证明线段相等与弧度相等例3.如图，AB，CD是O的弦，M、N分别为AB、CD的中点且AMN CNM∠=∠，求证：AB=CD.【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理，全等三角形的判定定理【解答过程】证明：M N为AB，CD中点，OM A B∴⊥，O N C D⊥。

AMNCNM∠=∠，OMNONM∴∠=∠，O MO N∴=.连接OB、OD，则OB=OD，R t O M B∆≌R t O D N∆。

B MDN∴=，A B C D∴=.【思路点拨】由中点想到垂径定理，由等角对等边定理可以得到线段与角度的相等关系，可以为证明全等三角形创造条件练习：如图，AB 是⊙O 的直径，P ，Q 是AB 上两点，且AP =BQ ，C 、D 是⊙O 上两点，且，分别延长CP 、DQ ，交⊙O 于M 、N ，求证：CP=DQ.【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理， 全等三角形的判定定理【解答过程】连接AC ，BD ，CO ，DO ， ∵，∴AC =BD ，∠COA=∠DOB00180-180-,22C O AD O B C A O D B O C A O D B O∠∠∠=∠=∠=∠∵∴ ∵AP=BQ,A C P∴∆≌B D Q ∆,∴CP=DQ .【思路点拨】 由圆心角、弧、弦之间关系定理可以得到线段与角度的相等关系，可以为证明全等三角形创造条件.【设计意图】利用圆心角、弧、弦之间关系定理证明圆中的线段相等或者弧相等3.课堂总结知识梳理（1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫圆心角（2）圆是轴对称图形，也是中心对称图形（3）在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等重难点归纳（1）在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等（2）圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件不可忽略（3）由圆心角、弧、弦之间关系定理可以求得圆中的角度，证明圆中的线段和弧相等.（三）课后作业基础型自主突破1．交通工具上的轮子都是圆做的，这是运用了圆的性质中的____.【知识点】圆的旋转不变性【解答过程】因为圆绕着圆心旋转任意角度，新图形与原图形重合，这样保证了交通工具运动中的平稳性，所以轮子会做成圆形【思路点拨】根据圆的旋转不变性可以为我们生活带来便利【答案】圆的旋转不变性2．如图，AB和DE是O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理，平行线的性质【解答过程】连接OC，AC∥DE，O CC∠，AO∠=∠，O A O CE=，BC∠=B EA∴O∠=E∠,3∴E∴==.OE CB∠=OBCAACO∠,C∴E B【思路点拨】由平行线可以得到角的关系，再由角的关系可以得到弦的关系【答案】33.如图，AB是O直径，C、D在O上，AD∥OC，60∠=︒，连接AC，则D A C∠等于A BD（）A. 15︒B. 30︒C. 45︒D. 60︒【知识点】平行线的性质，等腰三角形性质，圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】AD∥OC，B∴∠=∠=︒OB C6AD∵=O A O C∴∠=∠=︒AC3CAB O∴∠=︒C30DA【思路点拨】由平行线可以得到角的关系，此题注意隐藏条件是圆的半径处处相等【答案】B==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）4.如图，AB是⊙O的直径，B CC DD EA. 51°B. 56°C. 68°D. 78°【知识点】圆心角、弧、弦的关系【数学思想】数形结合【解答过程】解：如图，∵B CC DD E==，∠COD =34°， ∴∠BOC =∠EOD =∠COD =34°，∴∠AOE =180°﹣∠EOD ﹣∠COD ﹣∠BOC =78°．又∵OA =OE ，∴∠AEO =∠EAO ，∴∠AEO =12×（180°﹣78°）=51°． 故选：A ．【思路点拨】由B CC DD E==，可求得∠BOC =∠EOD =∠COD =34°，继而可求得∠AOE 的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO 的度数．【答案】A5．在⊙O 中，圆心角2A O B C O D∠=∠，则两条弧AB 与弧CD 关系是（ ） A. 2A B C D = B. A B C D >C. 2A B C D <D. 不能确定【知识点】圆心角、弧、弦的关系【解答过程】作A O B ∠的角平分线OE ，2A O B C O D ∠=∠， A O E B O E C O D∴∠=∠=∠，A EB EC D ∴==，=2A B C D ∴. 【思路点拨】当题目中出现二倍关系时，要善于把二倍关系分解一下【答案】A6．如图，以A B C D的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若50D ∠=︒，求弧BE 的度数和弧EF 的度数.【知识点】平行四边形的性质，弧的度数【解答过程】连接AE ，50D ∠=︒，ABCD 为平行四边形，50B ∴∠=︒，A B A E =，50A E B ∴∠=︒，180505080B A E ∴∠=︒-︒-︒=︒，BE ∴的度数为80︒，50D ∠=︒，130B A D ∴∠=︒，1308050E A F ∴∠=︒-︒=︒，EF ∴的度数为50︒.【思路点拨】圆心角有角度，弧有角度也有长度，弦有长度，圆可以和以前学过的知识结合起来考线段长和角度【答案】B E 的度数为80︒，E F 的度数为50︒.能力型 师生共研7.如图，A B C D =，O E A B ⊥，O F C D ⊥，25O E F ∠=︒，求O F E ∠度数.【知识点】圆心角、弧、弦的关系，全等三角形判定，等腰三角形性质【解答过程】连接OB 、OD ，A B C D =，A B C D ∴=，O E A B ⊥，O F C D ⊥12B E A E A B ∴==，12C F D F C D ==，B E D F ∴=又OB=ODR t O B E ∴∆≌R t O D F∆ O E O F ∴=25O F E O E F ∴∠=∠=︒.【思路点拨】利用圆的半径相等常常可以建立全等三角形【答案】25°8．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是B C的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为．【知识点】垂径定理，勾股定理【数学思想】数形结合【解答过程】连接OC，如图．∵点E是B C的中点，∴∠BOE=∠COE．∵OB=OC，∴OD⊥BC，BD=D C．∵BC=6，∴BD=3．设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．∵DE=1，∴OD=r﹣1．∵OD⊥BC即∠BDO=90°，∴OB2=BD2+OD2．∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，∴r2=32+（r﹣1）2．解得：r =5．∴OD =4．∵AO =BO ，BD =CD ，∴OD=12A C ． ∴AC =8．【思路点拨】由垂径定理有OD ⊥BC ，得BD =3．由勾股定理列方程可求得⊙O 的半径，从而求得AC 长。