第八章8.1 黏弹性现象与力学模型8.1.1 黏弹性与松弛例8－1 根据下表数据，表中ν为松弛过程的频率，绘图并求出这一过程的活化能。
T(℃) -32 -11 5 21 44 63 85ν1.9 4.0 7.1 15 21 28 57(104S-1)解：Arrhénius方程可以写作：ν=1/τ=ν0exp[-E/(RT)]因而lnν=lnν0-E/(RT)E/R=2453KE=2453×8.31J·mol-1＝2.04KJ·mol-1图8－9 从lnν～1/T曲线求松弛过程的活化能8.1.2 静态黏弹性与相关力学模型例8－2 讨论下述因素对蠕变实验的影响。
1.相对分子质量；b.交联；c.缠结数解：a.相对分子质量：低于Tg时，非晶聚合物的蠕变行为与相对分子质量无关，高于Tg时，非晶或未交联的高聚物的蠕变受相对分子质量影响很大，这是因为蠕变速率首先决定于聚合物的黏度，而黏度又决定于相对分子质量。
根据3.4次规律，聚合物的平衡零剪切黏度随重均相对分子质量的3.4次方增加。
于是平衡流动区的斜率随相对分子质量增加而大为减少，另一方面永久形变量也因此减少。
相对分子质量较大（黏度较大）蠕变速率较小（图8－10）。
b．交联：低于Tg时，链的运动很小，交联对蠕变性能的影响很小，除非交联度很高。
但是，高于Tg时交联极大地影响蠕变，交联能使聚合物从黏稠液体变为弹性体。
对于理想的弹性体，当加负荷时马上伸长一定量，而且伸长率不随时间而变化，当负荷移去后，该聚合物能迅速回复到原来长度。
当交联度增加，聚合物表现出低的“蠕变”（图8－10）。
轻度交联的影响就好像相对分子质量无限增加的影响，分子链不能相互滑移，所以变成无穷大，而且永久形变也消失了。
进一步交联，材料的模量增加，很高度交联时，材料成为玻璃态，在外力下行为就像虎克弹簧。
c. 缠结数：已发现低于一定相对分子质量时，黏度与相对分子质量成比例。
因为这一相对分子质量相应的分子链长已足以使聚合物产生缠结。
这种缠结如同暂时交联，使聚合物具有一定弹性。
因此相对分子质量增加时，缠结数增加，弹性和可回复蠕变量也增加。
但必须指出聚合物受拉伸，缠结减少，因此实验时间愈长则可回复蠕变愈小。
图8－10 相对分子质量和交联对蠕变的影响例8－3 一块橡胶，直径60mm，长度200mm，当作用力施加于橡胶下部，半个小时后拉长至300％(最大伸长600％)。
问：(1)松弛时间? (2)如果伸长至400％，需多长时间?解：（1）（蠕变方程）已知（注意：ε为应变，而非伸长率λ，ε＝λ－1）∴（2）例8－4 有一未硫化生胶，已知其η=1010泊，E＝109达因／厘米2，作应力松弛实验，当所加的原始应力为100达因／cm2时，求此试验开始后5秒钟时的残余应力。
解：∵∴已知，泊，，∴例8－5 某个聚合物的黏弹性行为可以用模量为1010Pa的弹簧与黏度为1012Pa.s的黏壶的串联模型描述。
计算突然施加一个1％应变50s后固体中的应力值。
解：τ为松弛时间，η为黏壶的黏度，E为弹簧的模量，所以τ＝100s。
＝0exp（－t/τ）=εEexp（－t/100）。
式中ε＝10－2，s＝50s＝10－2×1010exp（－50/100）=108exp（－0.5）＝0.61×108Pa例8－6 应力为15.7×108N·m-2，瞬间作用于一个Voigt单元，保持此应力不变．若已知该单元的本体黏度为3.45×109Pa·s，模量为6.894×100N·m-2，求该体系蠕变延长到200％时，需要多长时间?解：例8－7 某聚合物受外力后，其形变按照下式发展。
式中，σ0为最大应力;E(t)为拉伸到t时的模量。
今已知对聚合物加外力8s后，其应变为极限应变值的1／3。
求此聚合物的松弛时间为多少?解：当∴∴*例8－8 一种高分子材料的蠕变服从下式：式中，n＝1.0；K＝10－5；（临界应力）。
（1）试绘制应力分别为，，时，从1－104s的蠕变曲线；（2）这种材料能长期承受以上的应力吗？为什么？答：（1），作不同σ值下的曲线，如图8-11。
（2）不宜长期承受临界应力的作用。
例8－9 为了减轻桥梁振动可在桥梁支点处垫以衬垫．当货车轮距为10米并以60公里/小时通过桥梁时，欲缓冲其振动有下列几种高分子材料可供选择：(1)η1=1010，E1=2×108；(2)η2=108，E2=2×108；(3)η3=106，E3=2×108，问选哪一种合适?解：首先计算货车通过时对衬垫作用力时间。
已知货车速度为60,000m/h，而货车轮距为10m，则每小时衬垫被压次数为次/h，即1.67次/s。
货车车轮对衬垫的作用力时间为s/次。
三种高分子材料的τ值如下：（）（1）（2）（3）根据上述计算可选择（2）号材料，因其τ值与货车车轮对桥梁支点的作用力时间具有相同的数量级，作为衬垫才可以达到吸收能量或减缓振动的目的。
例8－10 一个纸杯装满水置于一张桌面上，用一发子弹桌面下部射入杯子，并从杯子的水中穿出，杯子仍位于桌面不动．如果纸杯里装的是一杯高聚物的稀溶液，这次，子弹把杯子打出了8米远．用松弛原理解释之．解：低分子液体如水的松弛时间是非常短的，它比子弹穿过杯子的时间还要短，因而虽然子弹穿过水那一瞬间有黏性摩擦，但它不足以带走杯子。
高分子溶液的松弛时间比水大几个数量级，即聚合物分子链来不及响应，所以子弹将它的动量转换给这个“子弹－液体－杯子”体系，从而桌面把杯子带走了。
例8－11 已知Maxwell模型的方程如下：而Voigt模型的方程如下：1.推导此两个模型应力速率为常数时应变～时间关系方程；2.推导此两个模型应变速率为常数时应力～时间关系方程。
答案：（1）＝RMaxwellVoigt（2）＝SMaxwellVoigt*例8－12 试证明由方程可以得出Maxwell模型中的本体黏度η。
解：由，和，设Maxwell模型由个单元串联。
每一个单元的力学参数为和，即得：即可由和加和求。
例8－13 试根据以下数据绘制两个Maxwell单元并联组合模型的应力松弛曲线。
；解：作图图8－12 两个Maxwell单元并联组合模型的应力松弛曲线例8－14 当用一个正弦力，作用于z个串联Maxwell模型(图8－13)时，试导出复合模量的表达式。
解：对于Maxwell模型：……或∴令，∴图8－13 z个串联Maxwell模型例8－15两个并联的Maxwell模型单元的元件参数分别为，，，。
此种模型对于未硫化的高相对分子质量聚合物为一级近似。
试画出它的的关系曲线。
解：由题意（Maxwell模型并联）有：式中，作图（图8－14）例8－16 对一种聚合物,用三个并联的Maxwell模型表示E1=105N·m-2,τ1=10sE2=106N·m-2,τ2=20sE3=107N·m-2,τ3=30s求加应力10秒后的松弛模量E。
解：∴例8－17 假如某个体系含有两个Voigt单元，其元件参数是：和，式中，ν为单位体积中交联网链的数目。
试导出这一体系在恒定应力σ下的蠕变响应的表达式。
解：两个Voigt单元串联模型如图8－15。
由和和∴图8－15 两个Voigt单元串联模型例8－18 有一个三元力学模型，其模量和黏度如图8－16所示图8－16 三元力学模型(Maxwell单元与弹簧并联)求证：(1)该模型的应力应变方程为；(2)当施以恒定应变ε时，该模型的应力松弛方程为：其中为应力松弛时初始最大应力.解：（1）总应力为σ，它与σ1、σ2、σ3的关系为：，总应变ε与ε1、ε2、ε3的关系为：∴∵，∴∴令，即，两边同乘以∴（2）当施加恒定应变ε时，于是上式成为当t＝0时即∴其实也可直接观察到这三元模型是Maxwell模型和一个弹簧并联。
当施压σ0时（1）弹簧的应力为（2）Maxwell模型部分的应力为，其应力松弛方程为∴总应力松弛方程为两者的加和例8－19 一个Voigt单元(E=2×105N·m-2，τ =103s)串联一个黏壶(η=3×108Pa·s)（见图8－17）．试计算：(1)当加恒定负荷4.9N/m2时，这一体系的形变答应值；(2)若负荷保留3000s后移去，试画出蠕变与回复曲线，并用曲线计算该体系的黏度。
图8－17 三元力学模型(Voigt单元与黏壶串联)解：（1），（2）作及回复曲线如图8－18，由曲线的斜率可求出图8－18 三元力学模型的蠕变和回复曲线例8－20 把Voigt模型和黏壶串联起来，成为三单元模型（图8－19）。
求施加一定的负荷下，在t＝0后。
时间与应变的关系，并画图表示出t＝t1时除去负重后将发生什么变化。
解：式中：图8－19 三元力学模型(Voigt单元与黏壶串联)图8－20 三元力学模型除去负重后的应变与时间关系例8－21 三参数模型如图8－21所示（1）求该模型的蠕变柔量表达式（2）已知模型参数求5秒后模型的形变量。
图8－21 三元力学模型(Voigt单元与弹簧串联)解：（1）已知Voigt模型∴本三元模型（2）例8－22 列举三个理由说明为什么我们的黏弹模型不能用来说明结晶聚合物的行为。
解：因为结晶型聚合物的黏弹性是很复杂的，因三点理由不服从于理论解释：a、无定形聚合物是各向同性的，也就是意味着为描述剪切应力而建立的模型也正好能用于描述拉伸应力。
然而，结晶聚合物不是各向同性的，所以任何模型的应用都受到严格的限制。
b、无定形聚合物是均相的，因此所加的应力能均匀分布到整个体系。
在结晶聚合物中，大量的结晶束缚在一起，因此这种束缚使得出现较大的应力集中。
c、结晶聚合物是不同结晶度的区域的混合物，当施加应力到结晶聚合物时，这些不同的区域的大小及分布随结晶的熔化和生长会发生连续变化。
也就是说任何机械模型都必须考虑对在结晶聚合物中这些连续的变化。
8.1.3 动态黏弹性与相关力学模型例8－23试从出发，推导出解：∵∴∵∴∵∴例8－24 取Maxwell模型，黏壶和弹簧分别由η和E确定，以频率为ω的脉冲进行动力学测定。
求证：时，解：∵∴即*例8－25 有一个动态力学实验中，应力，应变，试指出样品在极大扭曲时，弹性贮能()与一个完整周期内所消耗的功()之间的关系为：式中，和分别为贮能模量和损耗模量．解由题意，应力和应变与交变频率、时间的关系如图8-22图8-22应力和应变与交变频率、时间的关系应力:应变：切变模量：贮能模量：损耗模量：一个周期内反抗应力作功(耗能)：一个周期内弹性贮能：例8－26 推导弹簧-黏壶串联黏弹性模型的应力-应变方程及当模型施加正弦交变应力时的复数模量（，）和复数柔量（，）表达式。