戶幵,戈丿、弟实验报告课程名称：彳_____________ 指导老师 _____________ 成绩： ____________________实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型: _________________ 同组学生姓名：一、实验目的和要求(必填) 二、实验内容和原理(必填) 三、主要仪器设备(必填) 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析(必填)七、讨论、心得一、实验目的和要求1. 掌握DFT 的原理和实现2.掌握FFT 的原理和实现，掌握用FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。
二、实验内容和原理2.1 DTFT 和 DFTN 1如果x(n)为因果有限长序列,n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT 表示为：X(e j) x(n)en 0序列的N 点DFT 是DTFT 在［0,2 n 上的N 点等间隔采样，采样间隔为2 d N 。
通过DFT , 可以完成由一组有限个信号采样值x(n)直接计算得到一组有限个频谱采样值 X(k)。
X(k)的幅度谱为X(k) v 'x R (k )X |2(k ), X R (k)和X i (k)分别为X(k)的实部和虚部。
X(k)的相位谱 为(k)列吩序列x(n)的离散事件傅里叶变换(DTFT )表示为:X(e j)x( n)ex(n)的离散傅里叶变换(DFT )表达式为:X(k)x(n)e n 0j^nk N(k 0,1,…,N 1)IDFT )定义为 x(n)丄 N \(k)ej_Nnk(n 0,1，…，N 1)N n 02.2 FFT快速傅里叶变换(FFT )是DFT 的快速算法，它减少了 DFT 的运算量，使数字信号的处理速度大大提高。
三、主要仪器设备PC 一台，matlab 软件四、实验内容4.1第一题x(n)的离散时间 傅里叶变换(DTFT ) X(e j Q)并绘图。
0 其2他n 2; (2)已知 x(n) 2n 0 n 10。
0其他4.1.1理论分析1)由DTFT 计算式,X (Q)是实数，可以直接作出它的图像。
离散傅里叶反变换求有限长离散时间信号(1)已知 x(n)X( ) x(n)e jne 2j1 5je1 e je 2® e 2®0.5j e0.5 jesin(2.5 )2)由DTFT计算式:Figure 1 X (Q)曲线X( x(n)e j io2n e jn 01夕1©11」1 2e jz11111 2e jX(211 1 2e j可以发现(Q)周期为2 n;而X (Q)的相位在2n周期内有约十次振荡。
4.1.2编程计算作图编写一个计算DTFT的函数。
fun cti on DTFT(x, n1,n2) w=-2*pi:2*pi/1000:2*pi; % X=zeros(size(w));for i=n 1: n2 %DTFT表示Q 计算式X=X+x(i-n1+1)*exp((-1)*j*w*i);endan gle(X);subplot(2,1,1);plot(w, abs(X), 'r');xlabel( '\Omega' );ylabel( subplot(2,1,2);plot(w,a ngle(X), 'b');xlabel( '\Omega' );ylabel( end'|X(\Omega)|' );hold on; % 作幅频图'\an gle(\Omega)' ); % 作相频图输入序列x,和n的取值范围，即可计算其DTFT。
1) 输入：x=[1 1 1 1 1]; DTFT(x,-2,2);(因为X (Q)是实数，所以实际计算过程中对相频曲线取了绝对值) 结果：2) 输入：n=0:10; x=2.An;DTFT(x,0,10)结果:2500200015001000-10 -5 0 5 0Figure 3第1题(2)中X (Q )的频谱500-1Figure 2 X (Q)的频谱可以看出，X (Q)的相位只有 0和n 两种取值，X (Q)是实函数，而且其幅度频谱 与理论计算得到的相同。
4.2第二题已知有限长序列x(n)={色7,9,5,1,7,9,5},试分别采用DFT和FFT求其离散傅里叶变换X(k)的幅度、相位图。
4.2.1理论分析由FFT 蝶形运算得到，X(k)= 51,7,-9-j4,7,3,7,-9+j4,74.2.2编程计算作图1. DFT编写一个计算DTFT的函数。
DFT (序列x，长度N )fun ctio n DFT(x,N)k=0:N-1;X=zeros(size(k));for n=0:N-1X=X+x( n+1)*exp((-1)*j*2*pi/N* n*k); %DFT计算式endsubplot(2,1,1);stem(k,abs(X), '.' ); xlabel( 'k' );ylabel( '|X(k)|' );hold on; %幅频图subplot(2,1,2);stem(k,angle(X), '*' );xlabel( 'k' );ylabel( 'Angle(k)' ); %相频图end输入：x=[8 7 9 5 1 7 9 5];DFT(X,8);结果：Figure 4 第2题DFT结果2. FFT编写一个利用matlab自带函数计算FFT并绘图的函数FFT1 (序列x，长度N)fun cti on FFT1(x,N)X=fft(x,8); %用自带的fft函数计算k=0:N-1;subplot(2,1,1);stem(k,abs(X), '.' ); xlabel( 'k' );ylabel( '|X(k)|' );hold on; %幅频图subplot(2,1,2);stem(k,angle(X), '*' );xlabel( 'k' );ylabel( 'Angle(k)' ); %相目频图end输入：x=[8 7 9 5 1 7 9 5];FFT1(X,8);结果：Figure 5 第2题FFT结果因为FFT只是DFT的一种快速算法，所以FFT的结果与DFT结果相同。
DFT和FFT的结果，符合理论计算得到的，X(k)= 51,7,-9-j4,7,3,7,-9+j4,74.3第三题已知连续时间信号x(t)=3cos8 n t, X( 3 )= 3 [ ( 8 ) ( 8 )]，该信号从t=0开始以采样周期Ts=0.1 s进行采样得到序列x(n)，试选择合适的采样点数，分别采用DFT和FFT 求其离散傅里叶变换X(k)的幅度、相位图，并将结果与X(k)的幅度、相位图，并将结果与X( 3 )相比较。
4.3.1理论分析1.原信号的频谱：X( 3 )=3 [ ( 8 ) ( 8 )],只在土8n不为0.且在土8n处相2.采样角频率Q S=20 n> 2 X 8 n,满足采样定理。
3.采样后的信号，为X( 3 )以20 n为周期的延拓。
所以只在(土8+20k )n ( k为任意整数)处不为0.如取区间［0,20 n ］内，只有8n和16 n处不为0。
进行N点DFT后，将8 1220 n的区间映射为［0,N］区间。
理想情况下仅在n= N和N两处不为0。
20 204.x(n) cos(8 nTs) cos(0.8 n)，周期为5,所以取采样点数为5的倍数时，不会发生泄漏；而采样点数不是5的倍数时，则会发生泄漏。
1013 3 1 1 1 1 3 19-876■)X 543141Figure 6原始信号的频谱X (Q)4.3.2编程计算作图编写一个获得信号的N点样本的函数sample (点数N)fun cti on x=sample(N)t=0:0.1:(N-1)*0.1; %0.1s 为间隔x=3*cos(8*pi*t); %x 即采样结果End输入：X=sample(N);FFT1(X,N);即可获得采样N点的频谱图。
因为DFT结果与FFT是完全一样的，所以这里只使用FFT 作图。
取采样点数N=5 16 20 104获得以下频谱图：• • •■■■--. o5 1J \ 2.51 3 3.5Figure 7 N=5 Figure 8 N=16 Figure 9 N=2080Figure 10 N=104可以看出，N=5和20时，由于是周期的整数倍，频谱只有两条谱线，且满足前面8 12理论计算得出的公式n= —N和宜 N，没有发生泄漏，且这两条谱线对应20 20的相位是0.所以频谱与原信号频谱在形式上时相同的。
而N=16和N=54时，则都发生了频谱泄漏，频谱与原信号频谱就很不同了。
但相比之下N=54时谱线更加接近原谱线。
验证了“为减小泄漏误差，如果待分析的信号实现不知道确切周期，则截取较长时间长度的样点进行分析”这个说法。
同时也可以发现，虽然幅频图中显示幅值为0，但相频图中相应的位置仍有谱线。
这可能是matlab浮点运算造成的误差，即本来为0处其实是一个非常小的复数，所以仍有一定相位。
4.4第四题4.4.1理论分析若噪声信号较小，则采样后的频谱仍能较准确地反映原信号的特征。
4.4.2编程计算对原采样程序稍加改编，加入一个噪声信号p*randn(1,N)。
p表示噪声信号的强度。
fun cti on x=sample no ise(N,p)t=0:0.1:(N-1)*0.1;x=3*cos(8*pi*t)+p*ra ndn (1,N);end取采样点数N=20进行分析。
输入：X=samplenoise(20,p); % 取P=1 和 10 两种情况。
难准确获得原信号的频谱。
4.5第五题(n 3)，X(k)是 x(n)的 6 点 DFT ,设(1)若有限长序列y(n)的6点DFT 是Y(k) W 64k X(k)，求y(n)。
可见，较小的噪声对信号的频谱的影响不大,仍能较精确地获得频谱图。
而噪声较大时则很 3.5 已知序列 x(n) 4 (n) 3 (n 1) 2 (n 2) FFT1(X,20);30 Figure 11N=20 噪声较小(p=1 ) -0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 k -2 A 4 2 1 0 -2 20 e g A Figure 12N=20 噪声较大(p=10 ) -4 I _____ I _____ I _______ I _____ [ _____ [ ______ I ____ I ______ I _____ l_ 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 k(2) 若有限长序列 w(n)的6点DFT W(k)是X (k)的实部，求w(n)。