周期为N的正弦序列其基频成分为：
e1 (n) e j2 / N n
e K次谐波序列为： k
(n)

e j 2
/
N kn
但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的， 这是与连续傅氏级数的不同之处，
即
e j2 / N (kN )n e j2 / N kn
因此
ekN (n) ek (n)
•时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个 周期序列。
X~(k) ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 变换对，这种对称关系可表为：
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
习惯上：记 WN e j2 / N ，
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
~x(n)

1 N
N
1
X~
(k
)W
N
k
n
k 0

IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数变换
IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。
2 1 [ X~(k) X~ * (N k)]
2
共轭偶对称分量
DFSRe~x n

X~e
k


1 2
[
X~
(k)

X~
*
(N

k
)]
共轭奇对称分量
DFS
j
Im~x n

X~o
k


1 2
[
X~
(k)

X~
*
(N

k
)]
4）周期卷积
若 F~(k ) X~(k )Y~(k )
(1) 线性 DFT[ax(n)+by(n)]=aX(k)+bY(k) ,a,b为任意常数
(2) 循环移位 有限长序列x(n)的循环移位定义为：
f(n)=x((n+m))NRN(n)
含义：1) x((n+m))N 表示 x(n) 的周期延拓序列~x(n) 的移位：
x((n m)) N ~x (n m)
x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ，同样已知 X(k) 也就唯一地确定 x(n) ，实际上 x(n) 与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都 有N个独立值，因而具有等量的信息。
有限长序列隐含着周期性。
DFT的矩阵方程表示
x(0)

W 2( N 1) N


( N 1)( N 1)
W N
DFT特性：
以下讨论DFT的一些主要特性，这些特性都与周期序列 的DFS有关。
假定x(n)与y(n)是长度为N的有限长序列，其各自的离 散傅里叶变换分别为：
X(k)=DFT[x(n)] Y(k)=DFT[y(n)]
离散傅里叶级数为： ~x (n)、~y (n)
1）线性
X~(k ) DFS~x(n) Y~(k ) DFS~y(n)
a,b为任意常数
DFS a~x (n) b~y(n) aX~(k ) bY~(k )
2）序列移位
DFS~x(n

IDFS
X~
m) wNmk X~(k

1 N
N 1 N 1 ~x (m)wNmkY~(k )wNnk
k 0 m0

N 1 m0
~x (m)
1 N
N 1Y~(k )wN(nm)k
k 0


N1 ~x (m)~y(n
m0

m)
这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差
别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即
将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到 (N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离 散傅里叶级数只需包含这N个复指数，
~x (n) 1 N 1 X~ (k )e j2 / N kn
N K 0
利用正弦序列的周期性可求解系数 X~ (k ) 。
将上式两边乘以 e j(2 / N )rn
长度为N的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是 一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为：


X

x(n)
(k) DFT[x(n)] IDFT[X (k)]
N 1
x(n)WNkn
n0
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
0 k N 1 0 n N 1
第二章 离散傅里叶变换 及其快速算法
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义， 相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是， 直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的 处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应 用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得 以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被 广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近 年来，计算机的处理速率有了惊人的发展， 同时在数字信号处理领域出现了许多新的方 法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里 叶变换及其快速算法。
则 ~f (n) IDFS F~(k) N1 ~x (m)~y(n m) m0
或
N 1 ~y (m)~x (n m)
m0
周期卷积
证：~f (n) IDFS
X~ (k)Y~(k)

1 N
N 1 X~ (k )Y~(k )wNkn
k 0
N
k n
n0
0 k N 1
1) 可求 N 次谐波的系数
X~ (k )
2） X~ (k ) 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数
3） X~ (k ) 为周期序列，周期为N。
X~ (k mN ) N 1 ~x (n)e j2 / N (kmN)n n0 N 1 ~x (n)e j2 / N kn X~ (k ) n0
x(n)与 ~x (n) 的关系可描述为：
~x (n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x (n)的"主值序列"
数学表示：~x (n) x(n)

x((n))N ~x (n)RN
(n)

x((n))N
RN
(n)
RN（n）为矩形序列。 符号（（n））N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。
(k l) wNnl ~x (n)
)
证因为~x (n)
wNk及n
都是以N为周期的函数，
所以有
DFS
~x (n m)

N 1 ~x (n

m)wNkn

N
1
m~x (i)
wNki
wkm N
n0
im

wmk N
N 1m~x (i)wNki
im

wmk N
求和
，并对一个周期
N
1
~x (n)e

j
2 N
rn

1
N
1
N
1
X~
(k
)e
j
2 N
(
k
r
)n

1
N
1
X~
(k
N
)
1
e
j
2 N
(k
r
)
n
n0
N n0 k0
N k0
n0

N 1 k 0
X~ (k )[
1 N
1 e j 2 (k r ) 1 e j 2 (k r ) / N
X~(k) DFS [~x (n)] N1 ~x (n)W kn n0
0 k N 1
~x (n) IDFS [ X~(k)] 1 N 1 X~(k)W kn
N n0
0 n N 1
这两个公式的求和都只限于主值区间（0~N-1），它 们完全适用于主值序列 x(n) 与 X(k) ，因而我们可得到 一个新的定义——有限长序列离散傅里叶变换定义。
由长度为 N 的有限长序列 x(n) 延拓而成，它们的关系：


x(

~x (n)
~x (nr)
n)
0
x(n 0
rN )
nN 其它n

1
周~x (期n)对序于列的周的“期主主序值值列区区间~x间(与n”)主，，值定主序义值列其区：第间一上个的周序期列为n=主0~值N-序1，列为x(n)。
§2.1 离散傅里叶变换（DFT）
为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其 离散傅里叶级数（DFS）表示。
§2.1.1 离散傅里叶级数（DFS） 一个周期为N的周期序列，即
~x(n) ~x(n kN)
， k为任意整数，N为周期
周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而 复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连 续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散 的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。
N
1
~x (i)wNki

wmk N
X~
(k
)
i0
由于 ~x (n) 与 X~(k ) 对称的特点，同样可证明