令 f ( x) x ln a a ln x, x a
则 f (a) 0 f ( x) ln a a 1 a 0,当x a时, xx
f ( x)在x a时单调增加, 所以 当b a时, 有 f (b) f (a) 0 即 blna a lnb 0 blna a lnb 得 ab ba .
y
y f (x)
aO
bx
13
函数的单调性与极值
2. 极值的必要条件
使导数f ( x)为零的点
叫做函数f ( x)的驻点.
费马引理 如果函数 f ( x)在x0处可导, 且f ( x)在x0处取得极值, 那么 f (x0 ) 0.
定理2(必要条件)如果函数f ( x)在点x0处取得
极值,且在x0处可导,则必有f ( x0 ) 0. 注 (1)可导函数的极值点 必是驻点, 但函数的
所以,利用极限的保号性知道,
f (x0 ) 0.
4
函数的单调性与极值
充分性 设f (x) 0, x a,b.
x1, x2 [a, b], 且 x1 x2 ,
拉氏定理
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 ) 若在(a, b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0,
则称f ( x0 )为函数f ( x)的一个极大值 (或极小值), 函数的极大值与极小值统称为 极值.
使函数取得极值的点x0(自变量)称为 极值点.
12
函数的单调性与极值
函数的极大值、极小值 只是一点附近的 最大值与最小值, 是局部性的. 在一个区间内, 函数可能存在许多个极值,有的极小值可能大 于某个极大值.
f ( x0 )为极大值 (极小值);
(2)若f ( x)在x0附近不变号,则 f ( x0 ) 不是极值.
y
y
O
x0
x
O
x0
x
16
函数的单调性与极值
y
y 不是极值点
O
x0
xO
x0
x
一般求函数 y f (x) 的极值的步骤
(1) 确定函数的定义域; (2) 找临界点: f (x) 0的点和使得f (x)不存在的点; (3) 列表考虑 f (x) 在临界点左右两边的符号,
其中使得 f (x) 0 的点不构成 [a,b] 的子区间, 则推论的结论仍然成立.
2. 定理1和推论不论对于开、闭、有 限或无穷区间都正确.
6
函数的单调性与极值
如 y x3 , y x0 0,
y
y x3
但在(,)上 严格单调增加.
O
x
又如, y x sin x在(, ) 内可导,且 y 1 cos x 0, 等号只在x (2k 1) (k 0, 1, )
3
函数的单调性与极值
证明: 只证单调增加的情况.
必要性: 设f (x)在[a,b]上 单调增加,
对x0 a,b, 因f (x)在(a,b)内可导,
从而有
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
又由f (x)在[a,b]上 单调增加,得到
f (x) f (x0 ) 0 x x0
24
函数的单调性与极值
三、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要
应用.
单调性的应用:
利用函数的单调性可以确定某些方程实根
的个数和证明不等式.
极值的判别法
第一充分条件;
第二充分条件,
(注意使用条件)
25
函数的单调性与极值
思考题1 设b a e,证明ab ba .
证 只要证 blna a lnb.
如,
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x0
0,
x0
f (0)不存在,x=0不是极值点.
22
函数的单调性与极值
求函数
y3
x2 a2
2
,
a 0
的极值.
23
函数的单调性与极值
运用第一、第二充分条件需要注意:
(1) 若函数有导数不存在的点时, 则可用第一 充分条件来判定有无极值;
(2) 对于只有驻点而没有导数不存在的点, 则 可用第二充分条件判断有无极值.
所以 f (x2 ) f (x1),
所以 y f (x)在[a,b]上单调增加.
5
函数的单调性与极值
推论 设函数y f (x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导.
若在(a,b), f (x) 0, x a,b,
则 f (x)在[a,b]上 严(严格格单单调调增减加少)
注意: 1. 若推论中的条件 f (x) 0, 或f (x) 0, 改为 f (x) 0, 或f (x) 0,
驻点却不一定是极值点. y
如,y x3 , y x0 0,
但x 0不是极值点.
O
x
14
函数的单调性与极值
(2) 极值点也可能是导数不存在的点.
y
如,y 3 x2 , x 0 是极小值点.
但 y 3 x2 在x 0不可导.
O
x
怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点
是不是极值点
几何上, 若 x0 是连续函数 f(x) 单增、 单减的分界点, 则 x0必为极值点.
2x ax
当x a时, ( x)单调减少,故有( x) (a) 0 即 ln xb ln a xb a
axb 再证左边不等式. (两种方法) 设函数 f ( x) ln x
27
11 11
( 7 ,1) 11
1 (1, )
f ( x) 0
0
不存
非
f (x)
极
值
极大值 f ( 7 ) 2.2
在
极
极
大
小
值
值
极小值 f (1) 0
11
单调增加区间: 单调减少区间:
(,1], ( 7 ,1).
1,171,
[1,).
11
19
函数的单调性与极值
定理3对(第于二驻充点分,有条时件还) 可极以值的利二用阶函充数分在条该件 点
可知,利用导数的符号可以判断函数的单调性.
2
函数的单调性与极值
定理1 (函数单调性的判定法) 设函数 y f (x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导.
则 f (x)在[a,b]上 单调增加 (单调减少)
的充要条件是: ff((xx))00,,xxaa,b,b..
此时 [a,b]称为f (x)的 单调增 (减) 区间.
(4) 由临界点将函数的定义域分成几个区间, 在各个区间上再讨论 f (x) 的符号, 从而判定 f (x) 的单调性(要求列表).
8
函数的单调性与极值
例2 确定函数 y x 52 3 x 12
提示:
的单调区间.
y
8
x
1 2
x
5
33 x 1
x 1时, y不存在
x
,1
1
1,
1 2
y
0.
,f
可见, ( x)
f ( x) 与x 0;当x x0 ,
x0 异号. f ( x)
0.
所第以一,充f (分x)条在件点x0处取极大值.
自己证极小值情形.
20
函数的单调性与极值
例5 求函数 f (x) sin x cos x, 0 x 2
的极值.
21
函数的单调性与极值
仍用第一充分条件
第三节 函数的单调性与极值
函数单调性的判别法 函数的极值 小结 思考题
第三章 微分中值定理与导数的应用
1
函数的单调性与极值
一、单调性的判别法
y
y f (x) B
f ( x) 0
A
Oa
bx
y
A y f (x)
f ( x) 0
B
Oa
bx
分析 x1, x2 a,b,不防设x1 x2,
则利用 f (x2) f (x1) f () x2 x1
(无穷多个离散点)处成立, 故 y x sin x在(, ) 内严格单调增加.
7
函数的单调性与极值
例1 讨论函数 y 2x2 ln x 的单调性. 注意: 判函数的单调性或求单调区间的步骤如下:
(1) 确定函数的定义域; (2) 求导;
(3) 找临界点: 令f (x) 0或f (x)不存在的点;
注 当f (x0 ) 0或f (x0 )不存在时,
定理3(第二充分条件)不能应用.
事实上, 当f (x0 ) 0, f (x0 ) 0时，
f ( x)在点x0处可能有极大值, 也可能有极小值,
也可能没有极值.
如 f1( x) x4, f2( x) x4, f3( x) x3
在x , 0处 分别属于上述三种情况.
不存 在
y
1 2
1 2
,
5
0
5 5, 0
9
函数的单调性与极值
利用函数的单调性可以证明不等式.
例3
证明:
当x
0,
2
时,
有
3x tan x 2sin x
提示: 令f (x) tan x 2sin x 3x
f
(x)
1
cos
x2 1
cos2 x
2
cos
x
010Leabharlann 函数的单调性与极值例4 设 f (x)在0,a上连续,在0,a内可导,
且f(0)=0, f (x)在0,a内严格单调增加, 证明: 在0, a上, f (x) 严格单调增加.
x
11
函数的单调性与极值