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5.赋值法 用途：求含参数的较难的二项式问题 6.用计数原理求项 用法：对于多项式乘法求某项 7.二项式定理与其它知识的综合 四．命题类型讲解及训练 1.求展开式的项
例 1 已知等差数列{an}的通项公式为 an 3n 5 ，则 1 x5 1 x6 1 x7 的展开式中含 x4 项的系数
r
2
2
，则
r
4,T5
C64
x2 2x 2 y2
C64
x4 4x3 4x2
y2 ， x3 y2 的系数为 C64 4 60 ，故答案
为 60
练习 1. 求 1 x 2x2 5 展开式中含 x4 的项．
【答案】 15x4
【解析】试题分析：由 1 x 2x2
5 1
x 2x2
【答案】D
【解析】令 x 1 可得题中展开式所有二项式系数和为：
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2 1 2n
2 22 23 2n
2n1 2.
1 2
本题选择 D 选项.
练习 1． 1 x 1 x2 1 x3 1 xn b0 b1x b2x2 bn xn ，且
C2n
nn 1
2
15
，所以
n
6
，故
x
1 2
n
x
1 2
6
，令
x
1
得所有项系数之
和为
1 2
6
1 64
.
2．求二项式系数及二项式系数之和
例 2(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n 展开式中所有二项式系数和为 ( )
A. 2n+1
B. 2n+1+1
C. 2n+1-1
D. 2n+1-2
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的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
3.设 2x 3 4 a0 a1x a1x2 a3x3 a4 x4 则(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2 的值为( )
A. 1 B. －1 C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】(a0+a2+a4)2－
b0 b1 b2 bn 62 ，则 n 等于（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B
【解析】令 x 1 ，得 b0 b1 b2 bn 2 22 2n 2n1 2 .
∴ 62 2n1 2 ，∴ n 5 .
3.整除问题
例 3. 若 n 为正奇数，则 7n Cn1 ?7n1 Cn2 ?7n2 Cnn1 ?7 被 9 除所得的余数是( )
选 C. 【方法总结】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于简单题. 二项展开式定理的问题也 是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展
开式的通项公式Tr1 Cnr anrbr ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项
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A. 215 B. 214 C. 28 D. 27
【答案】B
【解析】 x 1 15 C105x15 C115x14 C125x13 C1r5x15r C1155
a15 x15 a14 x14 a13x13 a1x a0
(a1+a3)2 a0 a1
a4 a0 a1
a4 2
4
3 2
3 4 4 34 1
选A
4. x 13 x 28 a0 a1 x 1 a2 x 12 a8 x 18 ，则 a6 _______.
【答案】28
5. 若 1 2x 2011 a0 a1x a2x2 a2010x2010 a2011x2011 x R ，则 a0 a1 a0 a2 a0 a3 a0 a2010 a0 a2011 ________.(用数字作答)
【点睛】本题主要考查利用二项式定理解有关整除问题，关键在于将原式转化为 8 的倍数来展开. 二项式的
应用：（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；② 数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算. 4.求系数的绝对值之和
例 4. x y7 的展开式中，系数绝对值最大的是( )
练习
1．对于二项式
1 x
x3
n
n
N
，四位同学作了四种判断，其中正确的是(
)
（1）存在 n N ，展开式中有常数项；
（2）对任意 n N ,展开式中没有常数项；
（3）对任意 n N ,展开式中没有 x 的一次项；
（4）存在 n N ,展开式中有 x 的一次项。
A. (1)(3) B. (2)(3) C. (2)(4) D. (1)(4) 【答案】D
【答案】2009
【解析】令 x 0 ，则 a0 1.[高$ a2 a2010 a2011 1 2 2011 1. ∴ a0 a1 a0 a2 a0 a3 a0 a2010 a0 a2011 2010a0 a0 a1 a2 a3 a2011 2010 1 2009
）
A. 28 B. 38 C. 1或 38 D. 1或 28
【答案】C
【解析】通项为 C8r x8r
ax1
r
a r C8r x82r ，
8 2r 0, r 4 ，即 a4 C84 1120 ，解得 a 2 ，
当 a 2 时，令 x 1，求得和为1，当 a 2 时，令 x 1 ，求得和为 38 .
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一．学习目标 【学习目标】 1．能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 二．方法归纳 1.运用二项式定理一定要牢记通项 Tr＋1＝Crnan－rbr，注意(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的 某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个 不同概念，前者只指 Crn，而后者是指字母外的部分. 2.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求 r，再求 Tr＋1，有时还需先求 n，再求 r，才能求出 Tr＋1. 3.有些三项展开式问题可以通过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分 类清楚，不重不漏. 4.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问 题的一个重要手段. 5.近似计算首先要观察精确度，然后选取展开式中的若干项. 6.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”，“消 去法”配合整除的有关知识来解决. 三．命题类型及陷阱 1.求展开式的项及系数 方法：直接使用二项式定理的通项公式 2．求二项式系数及二项式系数 防陷阱方法：区分两者的区别 3.求展开式的系数之和 解法：赋值求和 4.求系数的绝对值之和 解法：把式子中的负号变正后再赋值
3．1 1 x 1 x2 1 xn 的展开式的各项系数之和为( )
A. 2n 1
【答案】C
B. 2n 1
C. 2n1 1
D. 2n
4．若
x
1 2
n
的展开式中第
3
项的二项式系数是
15，则展开式中所有项系数之和为（
）
A. 1 32
B. 1 64
【答案】B
C. - 1 64
D. 1 128
【解析】由题意知：
5
，可得展开式中第 k 1 项为Tk1
2 k Crk xxk ，
由题意可得{ r 2 或{ r 3 或{ r 4 ，即可求解 x4 的系数. k 2 k 1 k 0
试题解析：
由 1 x 2x2
5 1
x 2x2
5
，
则 Tr1 C5r x 2x2 r x 2x2 r 展开式中第 k 1 项为
是该数列的( ) A. 第 9 项 B. 第 10 项 C. 第 19 项 D. 第 20 项 【答案】D
【解析】 因为 1 x5 1 x6 1 x7 展开式中含 x4 项的系数是
C54 114 C64 12 C74 13 5 15 35 55 ，∴由 3n 5 55 得 n 20 ，故选 D.
∴ a0 a1 a2
故选 B.
a7 C1155 C1154
C185
1 2
C105 C115
C1155 214 ，
练习 1.设 1 x8 a0 a1x a8x8 ，则 a0 , a1, , a8 中奇数的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A
A. 第 4 项 【答案】B
B. 第 4、5 两项
C. 第 5 项
D. 第 3、4 两项
练习 1、(|x |+ 1 2)3 展开式中的常数项为 ( ) x
A. 20 B. 8 C. 一 8 D. 一 20
【答案】C
【解析】由题意可得：
x
1 x
3 2 x
1 x
6 ，
结合通项公式有： Tr1 C6r
x
r
1 x
6r
1 6r C6r
x 62r ，
常数项满足： 6 2r 0,r 3 ，
即常数项为： T31 1 63 C63 20 .
本题选择 C 选项.
5.赋值法
例 5. ．已知 x 1 15 a0 a1x a2x2 a15x15 ，则 a0 a1 a2 a7 等于（ ）