圆锥曲线的综合问题
直线和圆锥曲线的位置关系问题
1.若直线 mx ＋ ny ＝ 4 和⊙ O ： x 2
＋ y 2
＝ 4 没有交点，则过点 (m ， n)的直线与椭圆
x 2
＋y 2 ＝ 1 的交点个数
9
4
为 ( )
A ．至多一个
B ．2 个
C ．1 个
D ．0 个
解析： 由直线 mx ＋ ny ＝ 4 和 ⊙O ：x 2
＋y 2
＝4 没有交点得
4 >2，m 2＋ n 2
<4，点 (m ，n)表示的区域 m 2＋ n
2
2 2
2 2
在椭圆 x ＋ y ＝ 1 的内部，则过点 (m ， n)的直线与椭圆
x ＋ y
＝ 1 的交点个数为
2 个．
9
4
9
4
答案： B
2．抛物线 y 2＝4x 的焦点是 F ，准线是 l ，点 M(4,4)是抛物线上一点，则经过点
F 、 M 且与 l 相切的圆
共有 ( )
A ．0个
B ．1 个
C ．2 个
D ．4 个
解析： 由于圆经过焦点 F 且与准线 l 相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物
线上的点 M ，所以圆心在线段 FM 的垂直平分线上， 即圆心是线段 FM 的垂直平分线与抛物线 的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有
2 个满足条件的圆．
答案： C
3．过抛物线 y 2＝ 2px(p>0) 的焦点的直线 x － my ＋ m ＝0 与抛物线交于 A 、B 两点，且△ OAB(O 为坐标 原点 )的面积为 2 2，则 m 6＋ m 4＝ _.
y 2＝ 2px ，
解析： 设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，联立
消去 x 得 y 2－ 2mpy ＋ 2pm ＝ 0，
x ＝ my － m ，
∴ y 1＋ y 2＝ 2pm ， y 1y 2＝ 2pm ， (y 1－ y 2) 2＝ (y 1＋ y 2)2－ 4y 1y 2＝ 4p 2m 2－ 8pm.
p
又焦点 2， 0 在 x － my ＋ m ＝ 0 上， ∴ p ＝－ 2m ，
∴ |y 1－ y 2|＝ 4 m 4＋ m 2
， ∴ S △ OAB ＝ 1×
p
|y 1－ y 2|＝ 2 2，
2 2
－ m m 4＋m 2＝ 2，平方得 m 6 ＋m 4＝ 2.
答案： 2
题组二 直线与圆锥曲线相交中的弦长问题
4.(2009 全·国卷 Ⅱ )已知直线 y ＝ k(x ＋ 2)(k>0) 与拋物线 C ：y 2
＝ 8x 相交于 A 、B 两点，F 为 C 的焦点． 若
|FA|＝ 2|FB|，则 k ＝（
）
1 2 2 2 2 A. 3
B. 3
C.3
D. 3
解析： 过 A 、B 作拋物线准线 l 的垂线，垂足分别为
A 1、
B 1，
由拋物线定义可知， |AA 1|＝|AF|， |BB 1|＝ |BF|，
∵ 2|BF|＝ |AF|，
∴ |AA 1|＝ 2|BB 1 |，即 B 为 AC 的中点．
从而 y A ＝2y
y ＝ k(x ＋2) ， B ，联立方程组
y 2
＝ 8x ? 消去 x 得：
8 A
B ＝ 8， B
8， 2 2
y
＋ y
k ?
3y ＝
k ? 消去 y B 得 k ＝ y 2
－
y ＋ 16＝ 0， ∴
3 .
k
y A ·y B ＝ 16
2
2y B ＝ 16
答案： D
5．已知抛物线 y ＝－ x 2＋ 3 上存在关于直线
x ＋ y ＝0 对称的相异两点 A 、 B ，则 |AB|等于 ()
A ． 3
B ．4
C ．3 2
D ．4 2
解析： 设直线 AB 的方程为 y ＝ x ＋ b ，
y ＝－ x 2＋ 3
由
? x 2 ＋x ＋ b － 3＝ 0? x 1＋ x 2＝－ 1，
y ＝ x ＋ b
得 AB 的中点 M(－ 1，－ 1
＋ b)，
22
又 M(－ 1，－ 1
＋ b)在直线 x ＋ y ＝ 0 上可求出 b ＝ 1，
2 2
∴ x 2＋ x －2＝ 0， 则|AB|＝ 1＋ 12 (－ 1)2－ 4×(－ 2)＝ 3 2. 答案： C
6．(2008 全·国卷 Ⅱ )已知 F 为抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A 、B 两点．设
|FA|>|FB|，则 |FA|与 |FB|的比值等于 ________． 解析： F(1,0) ， ∴ 直线 AB 的方程为 y ＝ x － 1.
y ＝ x －1，
y 2
＝ 4x ? x 2－ 6x ＋ 1＝ 0? x ＝ 3±2 2.
∵ |FA|>|FB|，由抛物线定义知 A 点的横坐标为 3＋2 2， B 点的横坐标为 3－ 2 2. |FA| x ＋ 1 4＋ 2 2 2＋ 2 6＋4 2
|FB|＝ A ＝ ＝ ＝ ＝3＋2 2. B
4－ 2 2
x ＋ 1 2 2－ 2 答案： 3＋ 2 2
题组三
最值与取值范围问题
2
2
7．已知对 ?
x
＋ y
＝ 1 恒有公共点，则实数
m 的取值范围是 ()
k ∈R ，直线 y － kx － 1＝ 0 与椭圆 5 m
A ． (0,1)
B ． (0,5)
C ． 0，5 ∪ 5，+
D ． [15，）∪ 5，+
答案： D。