第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。

例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。

A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

（2）SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。

判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。

4.证明三角形全等的方法证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。

每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。

判定方法的选择：具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。

证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。

为什么“AAA ”和“SSA ”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出△ABC 不全等于△ADE ；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，AB=AB,AC=AD, ∠B=∠B ，但△ABC 与△ABD 不全等。

图13-6 图13-75.证明两个三角形全等如何入手证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。

（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。

同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。

（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。

证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。

二、经典例题例1：（1）已知一个三角形有两边的长分别为2cm ，13cm ，又知这个三角形的周长为偶数，求第三边长。

（2）在△ABC 中，已知∠A+∠C=2∠B,∠C-∠A=80°，求 ∠C 。

[考点透视] （1）考察三边关系的应用；（2）考察三角形内角和定理 [参考答案] 解：（1）设第三边为xcm ，则 132132-<<+x 即1115<<x∴周长L x x =++=+21315的范围是1511151515+<+<+x即2730<<L 又L 为偶数 ∴=L 28∴=+=L x 1528A B DE C ADC B∴=x 13即第三边长为13cm （2）Θ∠+∠=∠A C B 2∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠=A B C A C B B B B ()23180ο∴∠=B 60ο∴∠+∠=∠=A C B 2120ο又∠-∠=C A 80ο由∠+∠=∠-∠=⎧⎨⎪⎩⎪A C C A 12080οο 得∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪A C 20100οο∴∠=C 100ο例2：已知，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠=B 66ο，∠=C 54ο，DE AC ⊥于E ，求：∠ADB 和∠ADE[考点透视] 考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质[参考答案] 解：由三角形内角和定理，得∠=-∠-∠BAC B C 180ο=-+=180665460οοοο()又AD 平分∠BAC∴∠=∠=⨯=CAD BAC 12126030οο∴∠=∠+∠=+=ADB CAD C 305484οοο（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）在Rt ADE ∆中∠=-∠=-=ADE CAD 90903060οοοο（直角三角形的两个锐角互余）例3：已知：在∆ABC 和∆A B C '''中∠=∠∠=∠⊥A A B B CD AB ''，，于D ，C D A B ''''⊥于D ’，且CD C D =''求证：∆∆ABC A B C ≅'''A A ’D D’B C B’ C’[考点透视] 如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全等。

[参考答案] 证明：在Rt ADC ∆和Rt A D C ∆'''中∠=∠∠=∠==⎧⎨⎪⎩⎪A A ADC A D C CD C D ''''''90ο∴≅Rt ADC Rt A D C AAS ∆∆'''()∴=AC A C ''（全等三角形对应边相等） 在∆ABC 和∆A B C '''中∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪A A B B AC A C ''''∴≅∆∆ABC A B C AAS '''()三．适时训练（一）精心选一选1．在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，且△ABC ≌△DEF ，BC=EF ，点A 的对应顶点是D ，下列说法正确的是（ ）A. ∠C 与∠F 互余B. ∠C 与∠D 互余C. ∠B 与∠F 互余D. ∠A 与∠E 互余2．如图，△ABC 中，AB=AC ，CE 、BD 分别是AB 、AC 边上的中线，AM ⊥CE 于M ，AN ⊥BD 于N ，则图中全等三角形共有（ ）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对3．如图，△ACD 中，AB ⊥CD 且BD ＞CB ，△BCE 和△ABD 都是等腰Rt △，下列结论① △ABC ≌△DBE ；② △ACB ≌△ABD ；③ △CBE ≌△BED ；④ △ACE ≌△ADE ；正确的是（）A. ①②③B. ①C. ①③④D. ②③④4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB，AC边翻折180°形成的，若∠1:∠2:∠3=28:5:3，则∠度数为（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°5．下列命题正确的是（）A. 两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D. 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个Rt△全等6.在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点．（）（A）高（B）角平分线（C）中线（D）垂直平分线已知7.下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（）（A）∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF（B）AB=DE，BC=EF，∠A=∠D（C）∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（D）AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周长（二）细心填一填1．如图2-1，一长方形ABCD纸片，以EF为折痕折叠，点B落在点M，EN是∠MEC的角平分线，则∠FEN=2．如图2-2，在△ABC中，∠BAC:∠ABC:∠ACB=3:5:10，且△ABC≌△，则∠1:∠2=3．如图2-3，若△ABC≌△ADE，∠E=∠C，∠1=20°，则∠2=4．如图2-4，在正方形ABCD中，E是AD中点，F是BA延长线上一点，AB=2AF，在图中可通过（填“平移”，“翻折”，或“旋转”）使△ABE变到△ADF的位置，这时BE与DF之间的位置关系是5．如图2-5，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=4cm，则△BDE的周长是6. 已知，如图2-6，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有对全等三角形．7. 如图2-7，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= °．8. 在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件或；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件，或．9. 把两根钢条AA?、BB?的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图2-9，若测得AB=5厘米，则槽宽为米。

10. 工人师傅砌门时，如图所示，常用木条EF固定矩形木框ABCD，使其不变形，这是利用，用菱形做活动铁门是利用四边形的。

图2-1 图2-2 图2-3图2-4 图2-5 图2-6图2-7 图2-9 图2-10三、认真答一答1．如图，AB=AD，AC=AE，且∠DAB=∠CAE，BE与CD交于点P，AP的延长线交BC于F，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以证明。