2013“数学解题能力展示” 读者评选活动
六年级组初试试卷详解
（测评时间：2012年12月22日9:00—10:00）
学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论。
我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果。
否则愿接受本次成绩无效的处罚。
我同意遵守以上协议 签名：
一．填空题（每小题8分，共24分）
1. 算式21
5.7 4.2 4.35
2013151776567373
⨯+
⨯⨯⨯+⨯+的计算结果是___________． [答案]：126 [题型]：计算——分数运算
[解析]：()()656591473152.43.47.520136565973151473153
.42.42.47.52013++⨯⨯+⨯
=+⨯+⨯⨯+⨯⨯
=原式 12642367142
20136567373
152.4102013=⨯=⨯=+⨯⨯⨯=
2. 某日，小明和哥哥聊天，小明对哥哥说：“我特别期待2013年的到来，因为，2、0、1、3是四个不同
的数字，我长这么大，第一次碰到这样的年份．”哥哥笑道：“是呀，我们可以把像这样的年份叫做‘幸运年’，这样算来，明年恰好是我经历的第2个‘幸运年’了．”那么，哥哥是___________年出生的． [答案]：1987 [题型]：应用题——还原问题
[解析]：逆推，2013年是哥哥过的第二个幸运年，往前第一个幸运年是1987 3. 如右图示，分别以正八边形的四个顶点A 、B 、C 、D 为圆心，以正八边形边长为
半径画圆．圆弧的交点分别为E 、F 、G 、H ．如果正八边形边长为100厘米，那么，阴影部分的周长是___________厘米． （π取3.14） [答案]：314 [题型]：几何——圆的组合图形
[解析]：正八边形的一个内角为135°，容易看出，圆弧HE 占整个圆弧的3
1
且阴影部分的四段圆弧相等，阴影部分的周长为31443
1
1002360135=⨯⋅⋅⋅π
二．填空题（每小题12分，共36分）
B
4. 由2、0、1、3四个数字组成（可重复使用）的比2013小的四位数有_______个． [答案]：71 [题型]：计数问题
[解析]：比2013小的四位数可分为两类，首位为1和首位为2的：首位为1时，□□□1
，可以重复，每一位有4种情况，共64444=⨯⨯；首位为2，只能是□□20，十位为0，有4种情况，十位为1，有3种情况。
共713464=++种
5. 小于200且与200互质的所有自然数的和是___________． [答案]：8000 [题型]：数论——质数和合数
[解答]：3
2
25200⨯=，那么与200互质必须符合 既不是2的倍数，也不是5的倍数。
也就是所有的奇数减掉5的倍数（奇数倍！）
()()80002
2039152
1001991=⨯+⨯-⨯+
6. 在3×3的九宫格内填入数字1至9（每个数字都恰好使用一次），满足圆圈内的
数恰好为它周围四个方格的数字之和，例如A+B+D+E=28，那么ACEGI 组成的五位数是___________．
[答案]：71925 [题型]：杂题——数阵图
[解析]：考虑最大的A+B+D+E=28,而9+8+7+6=30，所以ABCDE 中必有8和9，可
以是9+8+7+4和9+8+6+5两种。
若A+B+D+E=9+8+7+4，再考虑D+E+G+H=25，以及右下角的23，令E=9，D=8，A=7，B=4，则G+H=7+4-3=8，C+F=7+8-11=4，所以C=1，F=3，那么G=2，H=6，I=5，所以ACEGI =71925，其余皆矛盾；若A+B+D+E=9+8+6+5，尝试知矛盾。
所以ACEGI =71925
三．填空题（每小题15分，共60分）
7. 四个不同的自然数和为2013，那么这四个自然数的最小公倍数最小是___________． [答案]：990 [题型]：数论——因数与倍数 [解析]：不妨设最小公倍数为x ，四个数分别为
a x ，
b x ，
c x 和d
x。
那么6111320131111⨯⨯==⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=+++d c b a x d x c x b x a x ，要使x 尽量小，那么d c b a 1111+++尽量大，即d c b a ,,,尽量小，那么考虑122541312111=+++，那么201312
25=x ，x 不是整数，舍去。
再考虑
I
F
C H
E B
G D
A
23
17
25
28
306151312111=+++，201330
61
=x ，得990=x
8.在等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB 的长度是60，D 是AB 的中点，且∠CDE 为直角，那么三角形BDE 的面积是________.
9.甲、乙二车分别从A 、B 两地同时出发，相向匀速而行，当甲行驶过AB 中点12千米时，两车相遇．若甲比乙晚出发10分钟，则两车恰好相遇在AB 中点，且甲到B 地时，乙距离A 地还有20千米．AB 两地间的路程是 千米．
[答案]：120千米 [题型]：行程问题——速度与路程成比例 [解析]：设全长为s ，由第一个条件得甲乙的速度比为⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛+122:122s s ，再由第二个条件又可得甲乙的速度比为⎪⎭⎫ ⎝⎛-202:2s s 。
两次甲乙速度都没变 所以⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+202:2122:122s s s s ，解得120=s
10. 老师从写有1～13的13张卡片中抽出9张，分别贴在9位同学的额头上．大家能看到其他8人的数
但看不到自己的数．（9位同学都诚实而且聪明，且卡片6、9不能颠倒）老师问：现在知道自己的数的约数个数的同学请举手．有两人举手．手放下之后，有三个人有如下的对话： 甲：我知道我是多少了．
乙：虽然我不知道我的数是多少，但我已经知道自己的奇偶性了． 丙：我的数比乙的小2，比甲的大1．
那么，没有被抽出的四张牌上数的和是 ． [答案]：28 [题型]：杂题——逻辑推理 [解析]：首先，列举1~13所有数约数个数。
每个人只能看到另外8个人头上的数，而要看到8个数就确定自己的数的约数个数，只能是吧约数个数为1、3、4、6的都看到了。
所以没抽出的四张牌必定约数个数为2个，都是质数。
也就是举手的两名同学头上的数。
甲说：“我知道我是多少了”。
所以甲头上的数不是质数。
乙说：“虽然我不知道我的数是多少，但我已经知道自己的奇偶性了。
”也就是说乙现在还不确定自己的数是多少，那么只可能是约数个数2个的，也就是说他头上的数是质数，他又知道奇偶性，所以他看到了其他人头上有2，而乙的数就是一个奇数的质数。
丙说：“我的数比乙的小2，比甲的大1．”乙是奇数，丙也是奇数，并且他知道自己的数所以肯定他不是质数，那么丙只能是1或9，而丙还要比甲大1，所以丙只能是9，甲是8，乙是11.
那么，质数当中出现了2和11，没抽出的四张牌自然是3、5、7、13 和为28.。