f2 f0 x 2 x0
牛 顿 插 值 法
f [ x 0 , x 2 ] f [ x 0 , x1 ] f [ x 0 , x1 , x 2 ] x 2 x1

f1 f 0 x1 x 0
x 2 x1
f [ x1 ,... x k 1 , x k ] f [ x 0 , x1 ,... x k 1 ] f [ x 0 , x1 ,..., x k ] x k x0
二阶差商: K阶差商:
f [ x 0 , x1 ,..., x k ]
f [ x1 ,... x k 1 , x k ] f [ x 0 , x1 ,... x k 1 ] x k x0
差商及其性质
差商记 号
f k ( x ) f [ xk ]
f [ x1 ] f [ x 0 ] f [ x 0 , x1 ] x1 x 0
f [ x0 ,, xn ] f [ xi0 ,, xin ]
差商定 义
f (xk ) - f (x0 ) 称 f [x0 , xk ] = 为函数f ( x ) xk - x0
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1
（xk , xk 1可以不相邻）
牛 顿 插 值 法
关于点x 0 , x k 的一阶差商（亦称均差） . .
建议记忆
差商及其性质
（ n） 设节点x 0 , x n [a , b], f ( x ) C [a , b], 则
f ( n ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xn ] n!
(min{ x0 , x1 ,... x n }, max{ x0 , x1 ,... x n })
牛 顿 插 值 法
证明见后
Rn ( x ) f [ x , x0 , x1 ,..., x n ] n 1 ( x )
f
( n1)
( )
( n 1)!
n1 ( x )
f [ x 0 , x 1 ,..., x n ]
f
(n)
( )
n!
N阶差商和N阶导数密切相关！
差商性质总结
第 二 章
插值法
主讲教师：杨爱民
http://210.31.198.78/eol/jpk/course/welcome.jsp?courseId=1220
学习计算方法的建议
问题的引入
思考 1
问题的由 来
提法的抽象
问题的实质
思考2 思考 3 思考4
准确理解概念
新概念的诞生 特性（独有的性质） 新概念的初识
差商及其性质
差商与所含节点的顺序无关
牛 顿 插 值 法
即 f [ x 0 , , x k ] f [ x1 , x 0 , x 2 , , x k ] f [ x1 , x k , x 0 ]
f [ x 1 ,... x k ] f [ x 0 , x 1 ,... x k 1 ] f [ x 0 , x 1 ,..., x k ] xk x0
等距节点
差分
Newton 前插后插公式
知 识 结 构 图
插 值 法
插值多项式
两点式
Lagrange 插值

算 法 比 较
推广方法
误差估计值
差商及其性质 Newdon插值法的基本思路
Newdon插值多项式的构造
Newdon插值多项式余项
差分及其应用
差商及其性质
i 0
k
f (xj )
' j 1 ( x j )
差商及其性质
如：k 2时，
f [ x0 , x1 , x2 ]
观察与思考
f [ x0 ] f [ x1 ] f [ x2 ] ( x0 x1 )( x0 x 2 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 ) ( x 2 x0 )( x 2 x1 )
学习建议
算法原理
思考 5 思考6 思考 7 思考8
新算法研究 警示：A！B! C! 算法的警示 能解决的专业问题
算法的应用
联想与展望 算法的进一步研究
1
插值法的一般理论 Lagrange插值 Newton插值
2
3 4 5
分段低次插值
Hermite插值、样条插值
一般理论
Newton 插值
点斜式 均差
0 f ( x 0 ) 1 f ( x1 ) 3 f ( x 2 )
1 k 'k 1 ( x k ) ( k 0,1,2,...)
0
1 1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) '21 ( x0 ) 1 1 ( x1 x0 )( x1 x2 ) '21 ( x1 ) 1 1 ( x2 x0 )( x2 x1 ) '21 ( x2 )
差商可表示为函数值的线性组合
若 f ( x ) k1 g1 ( x ) k 2 g 2 ( x )
f [ x0 , , xk ] ( x j x0 )( x j x j1 )( x j x x
f (xj ) j 0 ji
k
j 1
)( x j x k )

牛 顿 插 值 法
f [ x 0 , x 2 ] f [ x 0 , x1 ] x 2 x1
f [ x 2 ] f [ x0 ] f [ x1 ] f [ x0 ] x 2 x0 x1 x0 x 2 x1
1
2
21 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) '21 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 )
特别地
f [ x i ] f ( x i ), i 0,1,..., n. f [ x i ]称为f ( x )关于x i的零阶差商。
差商及其性质
差商具有线性 牛 顿 插 值 法
则 f [ x0 , x1 ,... xk ] k1 g1[ x0 , x1 ,... xk ] k 2 g2 [ x0 , x1 ,... xk ]