线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 27、蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ 于点X和Y，则M是XY的中点。 28、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半
29、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PA· PB=PC· PD
性质4：直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。
性质5：∠BI1C=90°-∠A/2. 性质6：AP1=r1· cot(A/2)=(a+b+c)/2. 性质7：∠AI1B=∠C/2. 性质8：S△ABC=r1(b+c-a)/2.
性质9：r1=rp/(p-a).
性质10：r1=(p-b)(p-c)/r. 性质11：1/r1+1/r2+1/r3=1/r. 性质12：r1=r/(tanB/2)(tanC/2).
10、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有
n×AB^2+m×AC^2=(m+n)AP^2+m×PB^2+n×PC^2 设θ是m和d的夹角，θ'是n和d的夹角。θ+θ'=π， cos θ′ = −cos θ。那么，根据余弦定理： a θ' d θ m c
20、塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 是D、E、R，则D、E、R共线（这条直线叫西摩松线）。
22、卡诺定理：在外接圆半径为R，内接圆半径为r的三角形ABC中，r和R有如下关系 r = 4 R sin 两条线段。线段的长度相等且互相垂直（凡· 奥贝尔定理适用于凸凹四边形）。
著名几何定理
目录(带“*”的表示作为了解或“证明：略”)：
*25、莫利定理（Morley's theorem）：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一 个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。
26、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连
证明： 作ABC的外接圆，直径CN，连接AN、BN ∵CN是直径 ∴NB⊥BC，NA⊥AC ∵AB⊥BC，BE⊥AC ∴NB//AB，NA//BE ∴四边形ANBH是平行四边形 ∴AH＝NB ∵OM⊥BC ∴M是BC的中点 而O是CN的中点 ∴OM是△BCN的中位线 ∴OM＝NB/2 ∴AH＝2OM
23、凡· 奥贝尔定理：任意一个四边形，在其边外侧构造一个正方形。将相对的正方形的中心连起，得出
A B C sin sin 2 2 2
*24、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称 点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、 E、F三点共线 。
9、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)
方法一：
方法二：
如图，AI是△ABC的中线，AH是高线。利用勾股定理来证明。 在Rt△ABH中，有AB² =AH² +BH² 同理，有AI² =AH² +HI² ，AC² =AH² +CH² 并且BI=CI 那么，AB² +AC² =2AH² +BH² +CH² =2(AI² -HI² )+(BI-IH)² +(CI+IH)² =2AI² -2HI² +BI² +IH² -2BI×IH+CI² +IH² +2CI×IH =2AI² +2BI²
著名几何定理
目录(带“*”的表示作为了解或“证明：略”)：
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理）
3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分（重心定理）
4、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL 5、欧拉定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线（欧拉线），而且重心到外心的距离是重心 到垂心距离的一半 6、三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共
OL平行等于PH
OLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点
7、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）
如图，四边形ABCD是圆内接四边形，O1,O2,O3,O4分
别是△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的 九点圆圆心，H1,H2,H3,H4分别是 显然AE过H4点，容易证明△DH4E和△ABE相似，所以
OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
联结FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行 AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又 ∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得 ∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有 △OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又 GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1 又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以 ∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长，所以 ∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。 即O、G、H三点共线。
②∵CD^2=AD· BD(已证)
∴CD^2+AD^2=AD· BD+AD^2 ∴AC^2=AD· (BD+AD) ∴AC^2=AD· AB ③BC^2=CD^2+BD^2 BC^2=AD×BD+BD^2 BC^2=(AD+BD)· BD BC^2=AB· BD ∴BC^2=AB· BD ④∵S△ACB=1/2AC×BC=1/2AB×CD ∴1/2AC×BC=1/2AB×CD ∴AC×BC=AB×CD
AF BD CE
18、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、
*19、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、
CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 。
BD CE AF × × =1 DC EA FB 21、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别
∴PMRDL五点共圆。
C等于∠LCE所以∠PEL等于180减去∠ADC ∴∠LEP等于90°
∴PEMRDL六点点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直
径 ∴PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心 下证 九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点 O为外心，OL平行等于AH一半（这个小定理我就不证明了）所以
到三角形三边的距离相等。一个三角形有三个旁心（每条边对应一个）。
若设O为△ABC的旁心,用向量表示则有 aOA bOB cOC 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 2、每个三角形都有三个旁心。 性质1 ：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于 一点，该点即为三角形的旁心。 性质2：旁心到三角形三边的距离相等。 性质3：三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。
6、三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点
共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。 作图如下：△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L， AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点为N, 垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R （思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°） 证明：（由中位线）PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM， 又PD⊥LD ∴PMDL共圆。 （由中位线）PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR
5、欧拉定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线（欧拉线），而且重心到外心的距离是重
心到垂心距离的一半 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心 。联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
联结OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。联结
AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所 以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则 GA:GD=2:1。 联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，
著名几何定理
目录(带“*”的表示作为了解或“证明：略”)：
15、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正 三角形。
*16、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心
构成的三角形是正三角形。 17、梅涅劳斯定理：当直线交△ABC三边所在直线 BC,AC,AB 于点 D,E,F时 FB × DC × EA = 1 ∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。
所以四边形ABCD与四边形好H1H2H3H4对应边相等，
对应角相等，即两个图形全等，所以H1,H2,H3,H4四点 共圆．
8、旁心定理及其性质
如左图，点M就是△ABC的一个旁心。这个交点到三角形三边距离相等。旁心是三角形的 一个内角平分线（如图中AZ）与其不相邻的两个外角平分线（如图中BX与CY)的交点，它
△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的垂心，E为DB边上A的投影，
有
DH4AB=DEAE=cos∠ADB 同理有 CH1AB=cos∠ACB=cos∠ADB 所以CH1和DH4平行（垂直于同一条边）且相等，所以
四边形CH1H4D是平行四边形，所以H1H4和CD平行且