人教版高一下学期数学期中测试题(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分)1.在△ABC 中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=( )A.3B. 2C. 6D.2 22.历届现代奥运会召开时间表如下：年份1896 年1900 年1904 年…2020 年届数 1 2 3 …n则n 的值为（）A.29B.30C.31D.323.若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )A. <B.a2>b2C. >D.a|c|>b|c|4.在△ABC 中，若2cosAsinB=sinC，则△ABC 的形状一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.正三角形ABC 的边长为a,那么正三角形ABC 的直观图△A′B′C′的面积是( )A. 3a 24 B. 6a 22C. 6a 216D. 6a 286.已知数列{a }是等比数列，a = 2, a =1，则a a +a a +…+a a =（）n 2 5 4 1 2 2 3 n n+1A.16(1-2-n)B.16(1-4-n)C. 323 -n(1-2 ) D. 323-n (1-4 )7.设x>0，y>0，a=x +y1 +x +y，b=x1 +x+y1 +y ，a 与b 的大小关系为（）A.a>bB.a<bC.a≤bD.a≥b8.等比数列{an }的前n项和为Sn，若Sn +1，Sn，Sn+2成等差数列，则其公比q 为（）A.-2B.1C.-2 或1D.-2 或-19.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.110.长方体ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点落在球O 的表面上,已知AB=3,AD=4,BB1=5,那么球O 的表面积为( )A.25πB.200πC.100πD.50π11.数列满足a n+1+a n =4n-3 .若a1=2，S n 为的前n 项和，则S2n+1 等于（）A.4n2+n+4.B.n2+n+4.C.4n2+n+2.D.n2+4n+2.12.在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V 的最大值是( )9π A.4π B. 232π C.6π D. 3二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)13.不等式3 -x >0 的解集是x + 214.若变量x，y 满足约束条件则z=3x+2y 的最小值为15.正四面体ABCD 的外接球半径为2, 则此正四面体的表面积为.16.给出下列 3 个结论：①等差数列{a n}中,若S10 = 30, S20 = 100, S30的值为210 .②已知x> 5 ,则函数y=4x+ 1 取最小值为74 4x -5③已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1，C 为的中点，点D，E 分别在半径OA，OB 上.若CD2+CE2+DE2=26 ，则 OD+OE 的最大值是49 3其中，结论正确的是．（将所有正确结论的序号都写上）三、解答题(共 6 个小题，共 70 分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知关于x 的不等式 ax 2-5x+2<0,a ∈R.(1) 当 a=2 时,解此不等式.(2) 若此不等式的解集为,求实数 a 的值.18. (12 分)如图所示，在△ABC 中，点 D 为 BC 边上一点，且 BD ＝1，E 为 AC 的中点，AE ＝ 3 cos B ＝ 2 7，∠ADB ＝2π 2， 73 .(1) 求 sin ∠BAD 的值和 AD 的长； (2) 求△ADE 的面积．19.(12 分)如图是一个几何体的三视图.(1)画出这个几何体的直观图.(用直尺，不用写出画法) (2)求这个几何体的表面积和体积20.(12 分)某阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为 800m 2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？x 221.(12 分)已知函数 f(x)= ax + b (a ，b 为常数)，且方程 f(x)-x+12=0 有两实根为 x 1=3，x 2=4.(1) 求函数 f(x)的解析式. (2) 设k>1，解关于 x 的不等式 f(x)< (k + 1)x - k 2 - x .22．(12 分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且（1） 求数列{a n }的通项公式； （2） 设，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式对一切n ∈N *都成立的正整数k 的最大值；（3） 设，是否存在t ∈N *，使得f （t+15）=5f （t+2）成立？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．人教版高一数学期中试题答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.B.因为A=45°，C=75°，所以B=180°-75°-45°=60°.因为AC=，由正弦定理得，=，BC===.2.D.由题意得，历届现代奥运会召开时间构成以1896为首项，4为公差的等差数列，所以2020=1896+(n-1)×4，解得n=32.3.C.因为c2+1≥1，所以根据不等式的性质知>成立.4.A.因为A+B+C=180°，所以2cosAsinB=sinC=sin=sinAcosB+cosAsinB，所以cosAsinB=sinAcosB，所以sin=0，又因为-180°<A-B<180°，所以A-B=0，即A=B.所以△ABC是等腰三角形.选C.因为c2+1≥1，所以根据不等式的性质知>成立.5.C.如图①为实际图形,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.如图②,建立坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°,由直观图画法知:A′B′=AB=a,O′C′=OC=a,过C′作C′D′⊥O′x′于D′,则C′D′=O′C′= a.所以△A′B′C′的面积是S=·A′B′·C′D′=·a·a=a2.6.D.设等比数列{a n}的公比是q，因为a2=2，a5=，所以q3==，所以q=.记b n=a n a n+1，则==q2=(n>2，且n∈N*)，所以数列{b n}是等比数列，其首项为a1a2=4×2=8，公比为，所以a1a2+a2a3+…+a n a n+1==(1-4-n).7. B.因为x>0，y>0，所以>，>，所以+>+=.即a<b.8.A.9.A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=×1×1=,所以体积V=Sh=.10.D.由长方体的体对角线为外接球的直径,设球半径为r,则2r==5,则r=,4πr2=4×π=50π.11.C.由题意得：a n+1+a n=4n-3 ①，a n+2+a n+1=4n+1 ②，②-①得a n+2-a n=4，因为a1=2，a1+a2=1，所以a2=-1，因为a n+2-a n=4，所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，所以a2n-1=4n-2，a2n=4n-5，所以S 2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(a2+a4+…+a2n)=×2+×4+n×+×4=4n2+n+2.12.B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直三棱柱内,当球和三个侧面都相切时,因为AB⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r==2,直径为4>侧棱.所以球的最大直径为3,半径为,此时体积V=.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.不等式等价为(3-x)(x+2)>0,即(x-3)(x+2)<0,得-2<x<3,即不等式的解集为(-2,3).14.不等式组所表示的可行域如图所示，由z=3x+2y得y=-x+，依题当目标函数直线l：y=-x+经过A时，z取得最小值，即z min=3×1+2×=.15.将正四面体ABCD放置正方体中，设正方体棱长为a,2R=a3,334=a,364=AB,表面积为333216.①②③①②因为x>,所以4x-5>0.则函数y=4x+=4x-5++5≥2+5=7,当且仅当x=时取等号.③在△COD中，由余弦定理得CD2=1+OD2-OD，同理在△EOC，△DOE中，由余弦定理分别得CE2=1+OE2-OE，DE2=OE2+OD2+OD·OE，代入CD2+CE2+DE2=整理得2(OD+OE)2-(OE+OD)-=3OD·OE，由基本不等式得3OD·OE≤，所以2(OD+OE)2-(OE+OD)-≤，解得0≤OD+OE≤，即OD+OE的最大值是.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(1)a=2时,不等式为2x2-5x+2<0,可化为(x-2)(2x-1)<0,解得<x<2,------------4分所以不等式的解集为.--------5分（2）若不等式ax2-5x+2<0的解集为,则方程ax2-5x+2=0的实数根为-2和且a<0, --------7分所以-2+=,解得a=-3,即a的值为-3.--------10分18.解：(1)在△ABD 中，∵cos B ＝277， B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，------2分 ∴sin ∠BAD ＝sin(B ＋∠ADB )＝217×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋277×32＝2114.-----4分 由正弦定理知AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，得AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD ＝1×2172114＝2.--------------6分(2)由(1)知AD ＝2，依题意得AC ＝2AE ＝3，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ，-------------------------6分 即9＝4＋DC 2－2×2×DC cos π3，--------8分∴DC 2－2DC －5＝0，解得DC ＝1＋6(负值舍去), -------------9分 ∴S △ACD ＝12AD ·DC sin ∠ADC---------------10分 ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322，----11分 从而S △ADE ＝12S △ACD ＝3＋324.----------------------------12分 19.(1)此几何体是上底边长为3,下底边长为5,高为3的正四棱台.直观图如图所示.图------------------4分(2)棱台侧面梯形的高为=,------6分 所以棱台的侧面积S 侧=(3+5)××4=16.----8分933=⨯=上S 2555=⨯=下S -----------9分所以 101634+=++=侧下上表S S S S --------10分 棱台的体积V=(S++S ′)·h=×(52++32)×3=49.---------12分20.设矩形温室的一边长为xm ， 则另一边长为m(2<x<200).依题意得种植面积： S=(x-2)-------------------------------4分=800- -4x+8--------------------------------6分=808-≤808-2=648，-----------10分当且仅当=4x，即x=20时等号成立.-----------------11分即当矩形温室的一边长为20m，另一边长为40m时种植面积最大，最大种植面积是648m2--------------12分21.(1)将x1=3，x2=4分别代入方程-x+12=0，得解得----4分所以f(x)=(x≠2).-----6分2)原不等式即为<，可化为<0.----7分即(x-2)(x-1)(x-k)>0.----8分①当1<k<2时，1<x<k或x>2；----9分②当k=2时，x>1且x≠2；-------10分③当k>2时，1<x<2或x>k.-------11分综上所述，当1<k<2时，原不等式的解集为{x|1<x<k或x>2}；当k=2时，原不等式的解集为{x|x>1且x≠2}；当k>2时，原不等式的解集为{x|1<x<2或x>k}.---------------------------12分22.(12分)解：（1）因为，所以a n=S n﹣S n﹣1=n+4（n≥2），又因为a1=S1=5满足上式，所以；…………………………3分（2）由（1）可知=（﹣），所以T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），显然T n随着n的增大而增大，故T n的最小值为，由可得k max =672；……………………………………8分.（3）结论：存在满足条件的t ．---------------8分理由如下：①当t 为奇数时t+15为偶数t+2为奇数，则f （t+15）=5f （t+2），即315+t a ﹣13=52+t a ，所以3（t+15+4）﹣13=5（t+2+4），解得t=7，符合题意；……………..10分 ②当t 为偶数时t+15为奇数，t+2偶数，则f （t+15）=5f （t+2），即15+t a =5（32+t a ﹣13），所以t+15+4=5[3（t+2+4）﹣13]，解得t=73-，矛盾；综上所述，存在满足条件的t=7．……………………………12分。