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2020届广西南宁二中高三4月开学考试数学（理）
试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：
___________
注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题 1．已知集合|0,1x A x x R x ⎧⎫
=≥∈⎨⎬-⎩⎭
,{}
2|31,B y y x x R ==+∈,则A B =I （ ） A ．∅ B ．(1,)+∞
C ．[1,)
+∞ D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞
答案：B
分析：先解分式不等式得集合A ，再求函数值域得集合B ，最后根据交集定义求结果. 详解：因为
01
x
x ≥-，所以01x x 或≤> 因为2
31y x =+，所以1y ≥
因此{}{}
=01{|1}1A B x x x x x x x ⋂≤⋂≥=或， 选B.
点睛：集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 2．设z 为非零复数，则“1
z z
+R ∈”是“1z =”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件
答案：B
设出复数z ，对1
z z
+R ∈”进行等价转化，再从充分性和必要性进行推证即可. 解：
设,(,z a bi a b =+不能同时为0)，
则1
z z +=2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝
⎭⎝⎭
又1z =1=，即221a b += 若1z z +
R ∈，则22b
b a b
=+，解得0b =或221a b +=，不一定满足221a b +=， 故充分性不成立；
若1z =，即221a b +=，则一定有22
b b a b =+，即1
z z
+R ∈， 故必要性成立. 综上1
z z
+
R ∈是1z =的必要不充分条件. 故选：B. 点评：
本题考查命题的充分条件和必要条件，涉及复数的运算，属综合基础题. 3．若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6
π） 答案：C
画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数
()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间
解：
画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构
造函数()cos f x x x =-，0.5230.8660.3430662
f ππ
⎛⎫=-≈-=-<
⎪
⎝⎭，
0.7850.7070.0780442
f ππ
⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭. 故选：C
点评：
本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
4．二项式()10,0n
ax a b bx ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭
的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ） A ．8 B ．10
C ．2
D ．4
答案：A
首先根据题意二项式1(0,0)n
ax a b bx ⎛⎫+>> ⎪⎝
⎭的展开式中只有第6项的二项式系数最
大，得到10n =，之后应用展开式的通项，建立等量关系式，求得结果. 解：
二项式1(0,0)n
ax a b bx ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭
的展开式中只有第6项的二项式系数最大，
则10n = ， 二项式10
1ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ 展开式的通项公式为：()
1010102110101r
r
r
r r r r
r T C ax C a b x
bx ----+⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭
， 由题意有：
28210
2137331103C a b T T C a b
-+-+== ，整理可得：8ab = . 故选：A.
点评：
该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项式系数和项的系数，二项式系数与展开式项的系数的异同：一是在T r ＋1＝r
n C a n －r b r 中，r
n C 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指r n C ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n 的奇偶性有关，当n 为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．
5．设平面向量()2,1a =-r ，(),1b λ=-r ，若a r 与b r
的夹角为钝角，则λ的取值范围是
（ ） A ．()1,22,2⎛⎫
-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
B ．()2,+∞
C ．1,2⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭
D ．()1,2,2⎛
⎫
-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
答案：A
两个向量在不共线的条件下，夹角为钝角的充要条件是它们的数量积小于零，由此列出不等式组，再解出这个不等式组，所得解集即为实数λ的取值范围． 解：
解：∵a r 与b r
的夹角为钝角，
∴21(1)0a b λ=-+⨯-<r
r g g ，且(2)(1)0λ--⨯-≠，
1
2
λ∴>-，且2λ≠，
故选：A ． 点评：
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查平面向量共线的坐标表示，在解决两个向量夹角为钝角（锐角）的问题时，千万要注意两个向量不能共线，否则会有遗漏而致错，属于基础题．
6．下列判断正确的是（ ）
A ．“若22a b <，则a b <”的否命题为真命题
B ．函数()
f x =的最小值为2
C ．当,x y R ∈时，命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
D ．命题“0x ∀>，202020200x +>”的否定是：“00x ∃≤，020*******x +≤” 答案：C
举反例判断A 选项；由基本不等式的性质判断B 选项；根据三角函数的性质以及逆否命题与原命题的等价性，判断C 选项；根据否定的定义判断D 选项. 解：
对A 项，“若22a b <，则a b <”的否命题为“若22a b ≥，则a b ≥”，当2,1a b =-=时，满足22a b ≥，但a b <，则A 错误；
对B 项，()
2f x =≥，=
1
=
3，所以()
2f x =>，则B 错误；
对C 项，由三角函数的性质得若x y =，则sin sin x y =，根据逆否命题与原命题真假相同，则C 正确；
对D 项，命题“0x ∀>，202020200x +>”的否定是：“00x ∃>，020*******x +≤”，则D 错误； 故选：C 点评：
本题主要考查了判断命题的真假，涉及了基本不等式，三角函数性质的应用，属于中档题.
7．若2sin 3sin 3παα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
tan α=（ ）
A ．3
-
B ．
3
C ．
D ．
2
答案：A
利用两角和与差的三角的正弦，将2sin 3sin 3παα⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭
()sin 1αϕ-=，其中sin
ϕ=
，cos ϕ=22k παπϕ=++，然后求解
sin ,cos αα即可.
解： 因为2sin 3sin 73παα⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
所以132sin cos 3sin 72ααα⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
即2sin 3cos 7αα-=
，
37sin cos 777αα⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭
，即()sin 1αϕ-=，
其中3sin 7
ϕ=，cos 7ϕ=，
22
k π
αϕπ∴-=+
，k ∈Z ，22
k π
απϕ∴=+
+，k ∈Z ，
sin sin 2sin cos 227k ππαπϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
∴=++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
3cos cos 2cos sin 227k ππαπϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
=++=+=-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 23tan 3
α∴=-
. 故选：A 点评：
本题主要考查两角和与差的三角函数的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
8．运行如图所示的程序算法，若输入m 的值为20，则输出的结果为（ ）
A ．20
B ．10
C ．0
D ．10-。