粒子群算法原理及其在函数优化中的应用1粒子群优化(PSO)算法基本原理1.1标准粒子群算法假设在一个D 维的目标搜索空间中，有 m 个代表问题潜在解的粒子组成一 个种群x [X i ,X 2,...,X m ],第i 个粒子的信息可用D 维向量表示为 X i [X ii , X i2,..., X iD ]T ，其速度为V i [V ii ,V i2,...,V iD ]T 。

算法首先初始化m 个随机粒子，然后通过迭代找到最优解。

每一次迭代中，粒子通过跟踪2个极值进行信息 交流，一个是第i 个粒子本身找到的最优解，称之为个体极值，即 P i [P il , P i2,...,厢]丁 ；另一个是所有粒子目前找到的最优解，称之为群体极值， 即P g [P gi ,P g2,..., P gD 「。

粒子在更新上述2个极值后，根据式(1)和式(2)更新自己的速度和位置。

t 1 t t t t t\V iWV i C 1「1（P i X i ） C 2「2（P g X i ） 式中，t 代表当前迭代次数，「1,「2是在[0,1]之间服从均匀分布的随机数，C 1,C 2 称为学习因子，分别调节粒子向个体极值和群体极值方向飞行的步长， w 为惯性 权重，一般在0.1~0.9之间取值。

在标准的PSO 算法中，惯性权重w 被设为常数, 通常取w 0.5。

在实际应用中，x 需保证在一定的范围内，即x 的每一维的变化 范围均为[X min ,X max ],这在函数优化问题中相当丁自变量的定义域1.2算法实现步骤步骤1:表示出PSO 算法中的适应度函数fitness(x)；(编程时最好以函数的 形式保存，便丁多次调用。

)步骤2:初始化PSO 算法中各个参数(如粒子个数，惯性权重，学习因子， 最大迭代次数等)，在自变量x 定义域内随机初始化x ，代入fitness(x)求得适应 度值，通过比较确定起始个体极值P i 和全局极值P g 。

步骤3:通过循环迭代更新x 、p i 和p g :① 确定惯性权重w 的取值(当w 不是常数时)。

② 根据式(1)更新粒子的速度V ：1,若速度中的某一维超过了 V max ，则取为 Vmax - ③ 根据式(2)更新自变量x ,若x 的取值超过其定义域，则在其定义域内重新 初t 1 X i t t 1X i Vi始化。

④代入fitness（x）求得适应度值，通过比较更新个体极值P i和全局极值p g <步骤4:判断是否满足终止条件（通常设为达到最大迭代次数或达到估计精度要求），若不满足，则转入步骤（3）,若满足，则输出估计结果，算法结束。

2程序实现2.1各种测试函数（适应度函数）测试函数是用来测试算法性能的一些通用函数，下面先给出一些测试函数的三维图（自变量为两维，加上函数值共三维）如图1-图17所示。

图1测试函数14321-110图2测试函数2250020001500100050010图4测试函数410.5-0.55-5 -5f610.80.60.40.25图8测试函数8-100 -100 120 100 80 60 40 20 0 10 100 80 60 40 20 0 100图10测试函数10-10 -10 0 -2 -4 -6 -8 10 200 150 100 50 0 10图12测试函数12-10 -10 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 10 15 10 5 0 10201510510图14测试函数14120100806040102502001501005010图16测试函数162.521.510.510-10-102.2程序实现首先给出绘制测试函数的程序：%%绘图测试函数 draw_fitness.m clear;clc;close all;%%[x,y]=meshgrid(-10:0.5:10);z2 = x.A 2-cos(18*x)+y.A 2-cos(18*y);figure(1); surf(x,y,z2); minz2=min(min(z2));title( 'z2 = xA2-cos(18*x)+yA2-cos(18*y)');%%z4 = 4*x.A2-2.1*x.A4+x.A6/3+x.*y-4*y.A2+y.A4;figure(2); surf(x,y,z4); minz4=min(min(z4));title( 'z4 = 4*xA2-2.1*xA4+xA6/3+x*y-4*yA2+yA4');%%z5 = (y-5.1*x.A2/4/pi/pi+5*x/pi-6).A2+10*(1-1/8/pi)*cos(x)+10; figure(3); surf(x,y,z5);minz5=min(min(z5));title( 'z5 = (y-5.1*xA2/4/\pi/\pi+5*x/\pi-6)A2+10*(1-1/8/\pi)*cos(x)+10' );%% [x,y]=meshgrid(-5:0.5:5);z7 = x.*exp(-x.A2-y.A2);a=(cos(x)).A 4+(cos(y)).A 4;b=-2*((cos(x)).人2.*(cos(y)).人2);figure(4); surf(x,y,z7); minz7=min(min(z7));title( %%[x,y]=meshgrid(-5:0.25:5);z8 = 3*(1-x).A2.*exp(-(x.A2) - &+1)人2) ...-10*(x/5 - x.A3 - y.A5).*exp(-x.A2-y.A2)-1/3*exp(-(x+1).A2 - y.A2);figure(5); surf(x,y,z8); minz8=min(min(z8)); title( %%r=sqrt(x.A2+y.A2)+eps; z9=sin(r)./r;figure(6); surf(x,y,z9); minz9=min(min(z9));title(%% [x,y]=meshgrid(-5:0.25:5);num=sin(sqrt(x.A2+y.A2)).A2 - 0.5;den=(1.0+0.01*(x.A2+y.A2)).A2;z10=0.5 +num./den;figure(7); surf(x,y,z10); minz10=min(min(z10));title(%% [x,y]=meshgrid(-10:0.5:10);z12=abs(x)+abs(y)+abs(x).*abs(y);figure(8); surf(x,y,z12); minz12=min(min(z12));%%[x,y]=meshgrid(-100:5:100);z13=max(abs(x),abs(y));figure(9); surf(x,y,z13); minz13=min(min(z13));%%[x,y]=meshgrid(0:0.5:10);z7 = x*exp(-xA2-yA2)');'z8 ');r=sqrt(xA2+yA2)+eps; z9=sin(r)/r;');'f6');c=sqrt(x.A2+2*y.A2);z14=-abs((a-b)./c);figure(10); surf(x,y,z14); minz14=min(min(z14));%%[x,y]=meshgrid(-10:0.5:10);NDparabola=x.A2+y.A2;figure(11); surf(x,y,NDparabola); title( 'NDparabola');%%[x,y]=meshgrid(-10:0.5:10);num=sin(sqrt(x.A2+y.A2)).A2 - 0.5;den=(1.0+0.01*(x.A2+y.A2)).A2;f6=0.5 +num./den;figure(12); surf(x,y,f6); title( 'f6');%%Rosenbrock=100*(x."2 - y)<2 + (1-x).A2;figure(13); surf(x,y,Rosenbrock); title( 'Rosenbrock');%%[x,y]=meshgrid(-10:0.5:10);ackley=20 + exp(1) -20*exp(-0.2*sqrt((1/2).*(x.A2+y.A2)))...-exp((1/2).*(cos(2*pi*x)+cos(2*pi*y)));figure(14); surf(x,y,ackley);title( 'ackley');%%[x,y]=meshgrid(-10:0.5:10);px1=((x) >= 0);px2=((y) >= 0);tripod= px2.*(1+px1) + abs(x + 50*px2.*(1-2*px1))+ abs(y + 50*(1-2.*px2));figure(15); surf(x,y,tripod); title( 'tripod');%%[x,y]=meshgrid(-10:0.5:10);Rastrigin=(x.A2-10*cos(2*pi*x)+10)+(y.A2-10*cos(2*pi*y)+10);figure(16); surf(x,y,Rastrigin); title( 'Rastrigin');%%[x,y]=meshgrid(-10:0.3:10);Griewank=1/4000*(x.A2+y.A2)-cos(x).*cos(y./sqrt(2))+1;figure(17); surf(x,y,Griewank); title( 'Griewank'); 以上只是绘制测试函数的m 文件，其目的在丁对测试函数有一个直观的认识。

但以上的程序在PSC 算法的实现中是用不着的，下面给出几个典型测试函数的代 码。

需要注意的是，一次只能调用其中一个测试函数。

%%典型测试函数的调用函数fitness.m%%function [out]=NDparabola(in) out = sum(in.A 2, 2);%%% function [out]=f6(in) % x=in(:,1);% y=in(:,2);% num=sin(sqrt(x.A2+y.A2)).A2 - 0.5;% den=(1.0+0.01*(x.A2+y.A2)).A2;% out=0.5 +num./den;%%% function [out]=DeJong_f2(in)% x= in(:,1);% y= in(:,2);% out = 100*(x.A2 - y).A2 + (1-x).A2;%%% function [out]=ackley(in)% % dimension is # of columns of input, x1, x2, ..., xn % n=length(in(1,:));% x=in;% e=exp (1);% out = (20 + e ...% -20*exp(-0.2*sqrt((1/n).*sum(x.A2,2))) ... % -exp((1/n).*sum(cos(2*pi*x),2)));% return%%% function [out]=tripod(in)% x1=in(:,1);% x2=in(:,2);% px1=((x1) >= 0);% px2=((x2) >= 0);% out= ( px2.*(1+px1) ...% + abs(x1 + 50*px2.*(1-2*px1))...% +abs(x2 + 50*(1-2.*px2))); %%% function F=Rastrigin(in)% F=sum(in.A2-10*cos(2*pi*in)+10);%%% function y=Griewank(in)% [row,col]=size(in);% y1=1/4000*sum(in.A2);%y2=1;% for h=1:col% y2=y2*cos(in(h)/sqrt(h));% end% y=y1-y2+1;下面以测试函数ackley 为例，给出基本粒子群算法的程序实现代码:A 、 主程序(可运行的程序) drawPSO.m :%基丁 PSO 算法的函数寻优收敛图绘制 drawPSO.m clear;clc;close all; %活除变量，活除命令窗口, %%%函数调用，注意函数fitness 前要加@[gbest,M,xmin,fmin]=PSO(@fitness,5,2,1.5,0.5,50,2);figure(1); k=1:M; plot(k,gbest,':rp','LineWidth',2);title('ackley 函数收敛曲线');xlabel('迭代次数'),ylabel('适应度函数最小值'); B 、PSO 算法实现程序PSO.m (核心程序)下面给出的是基本粒子群算法程序，没有做任何改进，但却很有效。