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2014年复旦大学附属中学自主招生测试
数学试卷
一．填空题
1．已知998a =，997b =，996c =，则2a ab ac bc --+= ▲ ．
2．已知：23a =，32b =，则
1111
a b +=++ ▲ ． 3．在△ABC 中，10AB =，16AC =，BAC ∠的角平分线为AN ，BN 和AN 垂直，垂直为N ，
M 为BC 的中点，则MN = ▲ ．
4．方程
2354235
x x x x +=----的根为 ▲ ． 5．已知一次函数y kx b =+经过点(1,1)，且2k >，则该函数不经过第 ▲ 象限．
6．已知,,,,,a b c d e f 为实数，满足0ace ≠，已知ax b cx d ex f +++=+对于任意x 都成立，则ad bc -= ▲ ．
7．已知：222212310011352001A =++++L ，2222
12310013572003B =++++L ，则与A B -最接近的整
数是 ▲ ．
二．解答题
2
8．已知,x y 是正整数，且2014x y >>，
1112014x y xy
++=，试求x y -的最大值． 9．在△ABC 中，BF 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，O 是内心（角平分线的交点），满足OE OF =，求证：△ABC 是等腰三角形或60A ∠=︒．
10．从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n 个数，放入集合A 中，从A 中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n 的最大值．
2014年复旦大学附属中学自主招生测试
数学试卷参考答案和评分标准
一．填空题
1．2 2．1 3．3 4．0；4；43 5．二 6．0 7．501
二．解答题
8．解：由
111
2014x y xy
++= 得
112015
2014
x y x y ⎛⎫++⎛⎫⋅=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
3
即
2014201420140xy x y ---=；
即
(2014)(2014)20142013x y --=⨯；
得：
min ()402840271x y -=-=．
9．证明：在AC 上截取'AE AE =
①如果E'和F 重合，那么
△AOE ≌△AOF ，△BOE ≌△COF ；
因此
AB AE BE AF CF AC =+=+=；
故
△ABC 是等腰三角形；
②如果E'和F 不重合，易知
△AOE'≌△AOF ；
A
B
C E
F (E')
O
第9题图①
A
B
C
E
E' O
F 第9题图②
4
于是
'OE OF =；
即
''OFE OE F BEC ∠=∠=∠；
由12BEC A C ∠=∠+∠，1
2AFO B C ∠=∠+∠
推出
11
()(180)22
B C A A ∠+∠=︒-∠=∠； 即
60A ∠=︒．
10．解：首先构造两个数列：
{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024； {}3,6,12,24,48,96,192,384,768,1512．
共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数．
因此：
21n ≤．
5
如果21n >，则构造如下集合：
{}1，{}2,3，{}4,5,6,7，{}8,9,10,,15L ，…，{}1024,1025,,2014L ；
共11个集合，如果21n >，至少有某个集合中被选了大于等于3个数，而这个集合中不可能存在一个数是另一个数的倍数．矛盾．
故
n 的最大值为21．。