C
m n1
98 199 【例 2】 (1)计算C100 + C200 ; 3������ +6 (2)已知C18 = C18 , 求������; 4 8 4 4 4 (3)化简C5 + C6 + C7 + C8 + C8 . 分析:先把组合数利用性质进行化简,或利用组合数性质求解. 4������ -2
������ ������ -1 ������ -2 ������ ������ -1 ������ -1 ������ -2 (4)证明: C������ + 2C������ + C������ = C������ + C������ + C������ + C������ ������ ������ -1 ������ = C������ + C = C +1 ������ +1 ������ +2 .
������+1 ������ +1 ·C������ ; ������-������
(3)证明: ∵
������ C������
������! ������+1 ������+1 ������! ������+1 = ������!(������-������)! , ������-������ ·C������ = ������-������ ·(������+1)!(������-������-1)!
A C A
n n
m
m
m m
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
m n
规定：
C
0 n
1
C 1
n n
组合数公式的性质：
C 1
n n
C C
m n
n m n
C C
m n
m1 n
(1)C C
n n1
n 2 n
(2)
C
2 100
( n 1) n( n 1) 2
C 3 A101
97 100
C A
2 10
3 101 3 101
1 6
2、圆上有10个点（1）过每两个点可画一条弦，
一共可画多少条弦？ C （2）过每3个点可画一个圆内接三角形，一共可画多 少个圆内接三角形？
98 解:(1)C100
+
199 C200
=
2 C100
+
1 C200
=
3������ +6 (2)由C18 = C18 , 知3n+6=4n-2 或 3n+6+(4n-2)=18.解得 n=8 或 n=2. ∵3n+6≤18,且 4n-2≤18, ∴n≤4,且 n∈N+,∴n=2. 4 8 8 4 5 4 4 4 4 4 4 (3)C5 + C6 + C7 + C8 + C8 = C8 + C5 + C6 + C7 + C8 = C5 + 4 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 C5 + C6 + C7 + C8 = C6 + C6 + C7 + C8 = C7 + C7 + C8 = C8 + 5 4 4 C8 = C9 = C9 = 4×3×2×1 = 126.
原式 C C C C C C C C
C C C C C C C C C C C C C C 4 C C C C C C C11
C C 的值为()
5 8 6 8
A.36 B.84 答案:B C.88 D.504
【当堂检测】
1
1 2
.
4.已知C12 = C12 , 则������的值是( A.2 B.6
������ -2
2������ -4
解析:由组合数公式及其性质得, 0 ≤ ������-2 ≤ 12, 0 ≤ 2������-4 ≤ 12, ������-2 = 2������-4 或(������-2) + (2������-4) = 12. 解得 x=2 或 x=6. 答案:D
2 5.若A3 ������ = 12C������ , 则������ =
2 解析: A3 = ������ ( ������ − 1)( ������ − 2), C ������ ������ = ������(������ − 1),
由 n∈N+,且 n≥3,解得 n=8. 答案:8
所以 n(n-1)(n-2)=12× 2 ������(������ − 1).
组合与组合数公式
1、排列的定义： 一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列。 2、排列数公式：
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
A
m n
n! (n m)!
组合：
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合．
相同的组合： 元素相同
组合数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的 m 组合数。用符号 Cn 表示。
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
4������ -2
100×99 + 200 2
= 5 150.
9×8×7×6
5 6 4 7 【变式训练 2】 (1)计算: C9 + C9 + C10 + C11 ; 2 2 2 2 2 (2)计算: C2 + C3 + C4 + C5 + C6 ; ������ (3)求证: C������ = ������ ������ ������ -1 ������ -2 (4)求证: C������ +2 = C������ + 2C������ + C������ . 5 6 5 6 6 4 7 7 7 (1)解: C9 + C9 + C10 + C11 = C10 + C10 + C11 = C11 + C11 = 5 7 C12 = C12 = 792. 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (2)解: 由C2 = C3 , 得C2 + C3 + C4 + C5 + C6 = C3 + C3 + C4 + 2 2 C5 + C6 . 3 3 3 2 2 2 2 2 ∵ C3 + C3 = C4 , ∴ C3 + C3 + C4 + C5 + C6 3 2 2 2 2 2 2 = C4 + C4 + C5 + C6 , 依次类推可得C2 + C3 + C4 2 3 2 + C5 + C6 = C7 = 35.
������ + 1 ������! ������! ������ + 1 ������+1 ������ = · = , ∴ C������ = ������-������ ·C������ . (������ + 1)! (������-������)(������-������-1)! ������!(������-������)!
C. 2 D. 2 或 6
1
)5Βιβλιοθήκη 计算：C3 3 C .... C
3 4
0 4 1 5 1 5 2 6 1 4 3 5 2 5 3 6 3 5 3 6 3 6 3 7 3 6 3 7 3 7 3 8
3 10
3 7 3 8 3 8 3 9 3 8 3 9 3 9 3 10 3 9 3 10 3 10 3 10
C
3 10