《计算方法》期末复习
一、填空
1．区间［a ,b ］上的三次样条插值函数S （x ）在［a ,b ］上具有直到 阶的连续导数。

2．牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）数值求积公式∑⎰=-≈n
i i n i b
a x C f a
b dx x f 0
)()()()(，当n 为奇数时，至少具有 次
代数精确度；
3. 已知)2,1(-=T
X ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=1 32 7A ，则=A 1 。

4.
所确定的插值多项式的次数是 。

5．牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）数值求积公式∑⎰=-≈n
i i n i b
a x C f a
b dx x f 0
)()()()(，当n 为偶数时，至少具有 次
代数精确度。

6．已知)2,1(-=T
X ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=1 32 7A ，则=∞)Cond(A 。

7. 为使两点的数值求积公式：)()()(11
10x x f f dx x f ⎰-+≈具有最高的代数精确度，则其求积节点应为 。

8. 若A 是n 阶 阵，则A 的条件数Cond （A ）≥1。

二、简答
1．n 方矩阵A 可进行LU 分解的充要条件是什么？
2．叙述任何范数必须满足的公理。

定义()[],f x C a b ∈的最大值范数及欧氏范数。

3．构造最佳平方逼近多项式的基本原则是什么？ 4．数值积分公式（
()()0
n
b
k k a
k f x dx A f x =≈
∑⎰）的求积系数k
A 主要与哪些因素有关？
5．什么是样条函数？它与分段多项式有什么不同？ 6．如果用复化Simpson 公式求
()b
a f x dx ⎰的近似值，那么要将积分区间[],a
b 分成多少等份，才能保证
误差不超过ε？
7．定义Legendre 多项式并给出它们的正交关系式。

8．叙述Gauss--Seidel 迭代格式收敛的充要条件。

9．什么是线性赋范 空间？线性赋范空间一定是内积空间吗？
10．什么是强制边值条件？（或本质边值条件？）什么是自然边值条件？在构造变分问题时，如何处理这两类条件？
三、试用“追赶法”求解线性代数方程组
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1915834 1
1 3 1 1
2 11 14321x x x x
四、在区间［-1,1］上取基函数x x x x x 2210)(,)(,1)(===ϕϕϕ，求14)(3+=x x f 在［-1,1］上带权1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式。

五、设有n 级方阵A ，若存在矩阵范数•，使得1<A ，试证明I －A 非奇异（I 为n 级单位阵），且有 A
A I -≤
--11
)(1 六、用牛顿法求115的近似值，要求精度610-=ε。

七、设A ，B 为n 阶矩阵，求证
)()()(B Cond A Cond AB Cond •≤
八、用迭代加速公式求方程x e x -=在x ＝0.5附近的根*x ，要求精度510-=ε。

九、设x e x f -=)(在30.0,25.0,15.0,10.03210====x x x x 的值分别是0.904837，0.860780，0.778801，0.740818，试构造拉格朗日插值多项式，求x e -在20.0=x 的近似值并估计误差。

十、给定求积节点0113
,44
x x ==，试推出计算积分()10f x dx ⎰的插值型求积公式，并写出它的截断误差。

十一、用最小二乘法求一个形如x a a y
+=的经验公式，使与下列数据相拟合。

十二、设⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=001122101A ，计算∞A A A ,,21。

十三、用三角分解法解
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡201814513252
321321x x x
十四、用最小二乘法求一个形如bx ae x S =)(的经验公式，使它与下列数据相拟合。

)3()2()1()0()(32103
0f A f A f A f A dx x f +++≈⎰
使其具有3次代数精度。