杉达 各 专业 2007 级 专科《概率论与数理统计》期中试卷A 评析一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，每小题3分，共21分。

）1.设事件A 与B 相互独立,且P(A)>0, P(B)>0,则下列等式成立的是 ( )A 、AB=∅B 、P(AB ¯)=P(A)P(B ¯)C 、P(B)=1-P(A)D 、P(B |A¯)=0 【讲评】考点：事件的相互独立的性质。

如果事件A 与事件B 满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立。

本题： 因为A 与B 独立⇔事件A 与事件B ￣独立⇔ P(AB¯)=P(A)P(B ¯) 选B 。

2.设甲、乙两人向同一目标射击，事件A, B 分别表示甲、乙击中目标，则AB¯¯表示 ( )A 、两人都没有击中目标B 、两人都击中了目标C 、至少有一人击中目标.D 、至少有一人没有击中目标.【讲评】考点：事件的运算的算律与实际意义。

对偶律：AB¯¯=A ¯∪B ¯ 本题： 因为AB ¯¯=A ¯∪B ¯，所以其实际意义为至少有一人没有击中目标. 选D 。

3.一批产品共10件，其中有3件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为 ( )A 、1/60B 、21/40C 、1/5D 、7/15【讲评】考点：P(A)=A 包含样本总个数样本点总数=N(A)N(S)， 本题： N(S)= C 103=10×9×8/3! = 120 . N(A)= C 31×C 72= 63,P(A)=N(A)/N(S)=63/120 = 21/40 .选B 。

4.下列各函数中可作为随机变量分布函数的是 ( )A 、F 1(x)=⎩⎨⎧2x 0≤x ≤1 0 其他B 、F 2(x)=⎩⎨⎧0 x<0x 0≤x<11 x ≥1C 、F 3(x)=⎩⎨⎧-1 x<-1x -1≤x<11 x ≥1D 、F 4(x)=⎩⎨⎧0 x<02x 0≤x<12 x ≥1【讲评】考点：分布函数的性质。

(1)0≤F(x)≤1; (2) F(-∞)=0, F(+∞)=1,(3)单调非减，当x 1<x 2时，F(x 1)≤F(x 2) (4)右连续 lim x →x 0+ F(x)=F(x 0) 本题：因为F 1(x), F 3(x), F 4(x)都不满足性质(1)，所以只有F 2(x)是正确的。

选B 。

5．设随机变量X 在区间[3，5]上服从均匀分布，则P{3<X<4}= ( )A 、P{4.5<X<5.5}B 、P{2.5<X<3.5}C 、P{3.5<X<4.5}D 、P{5.5<X<6.5}【讲评】考点：均匀分布X~U[a,b]；密度函数 f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ 1b-a a ≤x ≤b 0 其他 分布函数F(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧ 0 x<a x-a b-a a ≤x ≤b 1 x>bP{c<X<d}= ∫c df(x)dx ，注意分段函数的积分分段性。

本题：因为X~U[3, 5]；所以密度函数 f(x)=⎩⎨⎧ 1/2 3≤x ≤5 0 其他P{3<X<4}=1/2, P{4.5<X<5.5}=1/4, P{2.5<X<3.5}=1/4, P{3.5<X<4.5}=1/2, P{5.5<X<6.5}=0 选C 。

6. 设随机变量X~N(2, 4)，Φ(1)=0.8413, Φ(0)=0.5，则事件{2≤X ≤4}的概率为 ( )A 、0.3413B 、0.2413C 、0.2934D 、0.1385【讲评】考点：正态分布X~N(μ, σ2)；分布函数F(x)=Φ(x-μσ)，其中Φ(x)为标准正态分布函数。

公式P{a<X ≤b}=F(b)-F(a)= Φ(b-μσ)-Φ(a-μσ)， Φ(-x)=1-Φ(x) 本题：因为X~N(2, 4)；μ=2, σ=2, 所以P{2≤X ≤4}=Φ(4-μσ)-Φ(2-μσ)=Φ(1)-Φ(0)=0.3413 选A 。

7.设随机变量X 的分布函数为F X (x)，则随机变量Y=5X+6的分布函数F Y (y)= ( )A 、F X (5y+6)B 、F X (y-65)C 、F X (y)D 、F X (5x+6)【讲评】考点：随机变量X 的函数Y=g(X)的分布，Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}= P{g(x)≤y}= P{X ∈S}，其中S={x|g(x)≤y}，然后再把F Y (y)对y 求导，即得Y 的密度函数f Y (y)。

本题：F Y (y)=P{Y ≤y}= P{5X+6≤y}= P{X ≤y-65}= F X (y-65)选B 。

3125476二、简答题（本大题共7小题，每小题 5 分，共35分）写简单解答过程，将正确的答案写出。

8．设随机变量(X,Y)的联合分布为 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤X ╲Y 1 2 1 1/6 1/9 2 1/2 α，求α。

【讲评】考点：二维离散型随机变量及其概率分布 P{X=x i ,Y=y j }=p ij , 其中 ∑i=1 ∑j=1p ij =1 且 p ij ≥0[解]：因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤X ╲Y 1 21 1/6 1/92 1/2 α为的联合分布律，所以 1/6 + 1/9 +1/2 +α=1⇒ α= 2/99. 设线路由A 、B 两元件并联组成（如右图），A, B 元件独立工作，A 正常工作的概率为7/8，而B 不正常工作的概率为1/6，则此线路工作正常的概率。

【讲评】考点：并联线路的正常工作为A 正常或B 正常，则并联线路的正常工作的概率为P(A ∪B)。

[解]：P(A)=7/8, P(B ¯)=1/6, ⇒ P(B)=5/6A 与B 相互独立 ⇒ P(AB)=P(A)P(B)=35/48所以并联线路的正常工作的概率为P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=7/8+5/6 – 35/48 =(42+40-35)/48= 47/4810. 设随机变量X 的分布函数为F(x)= ⎩⎨⎧ 0 x ≤-6(x+6)/12 -6<x<61 x ≤6，试求：概率密度函数f(x)。

【讲评】考点：分布函数与概率密度函数的关系。

概率密度函数f(x)=F ′(x)[解]：f(x)=F ′(x)= ⎩⎨⎧ x/12 -6<x<60 其他11.设随机变量X 的分布律为⎣⎡⎦⎤X -1 0 1 2P 1/8 3/8 1/16 7/16 ，且Y =X 2，记随机变量Y 的分布函数为F Y (y )，求F Y (3)的值。

【讲评】考点：离散型随机变量的函数的分布，离散型随机变量的分布函数的值的计算，[解]：Y=X 2的可能取值为0,1,4，且P{Y=0}=P{X=0}=3/8,P{Y=1}=P{X= -1}+P{X=1}=1/8+1/16=3/16, P{Y=4}=P{X=2}= 7/16,即Y~⎣⎡⎦⎤0 1 43/8 3/16 7/16。

F Y (3)=P{Y ≤3}=P{Y=0}+P{Y=1}=3/8 + 3/16 = 9/1612．设连续型随机变量X 的分布函数为F(x)= ⎩⎨⎧Ax 1+x x ≥0 0 x<0，求常数A 的值。

【讲评】考点：分布函数的性质，lim x →+∝F(x)=1[解]：lim x →+∝F(x)= lim x →+∝Ax 1+x = lim x →+∝A 1 (运用洛必大法则，分子分母求导) = A⇒ A=113. 设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=0.4，P(B)=0.6, P(A ∪B)=0.7, 求P(A ¯B) 。

【讲评】考点：事件的运算与概率的计算。

[解]：因为有A ¯B ∪AB=B ， 且A ¯B ∩AB=∅P(A ¯B)= P(B)-P(AB)= P(B)-[P(A)+P(B)-P(A ∪B)]= P(A ∪B)-P(A)=0.7-0.4=0.314．设随机变量X 服从参数为 λ (λ>0) 的泊松分布，且P{X=0}=12P{X=2}，求 λ。

【讲评】考点：泊松分布X~P(λ)；分布列为 P{X=k}= λk k! e -λ。

[解]：已知P(X=0)= 12P(X=2) ⇒ λ00!e -λ = 12×λ22!e -λ ⇒ λ= 2 或 λ= -2( 舍去)所以, λ=2三，计算题（本大题共3小题，每小题8分，共24 分）15．某物品成箱出售，每箱20件，假设各箱中含0、1件次品的概率分别为0.8和0.2，一顾客在购买时，他可以开箱，从箱中任取三件检查，当这三件都是合格品时，顾客才买下该箱物品，否则退货。

试求：（1）顾客买下该箱的概率 α ；（2）顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率 β 。

[解]：设事件A 0, A 1箱中含有0, 1件次品, 事件B 为顾客买下该箱物品.则有题知, 有P(A 0)=0.8, P(A 1)=0.2;且P(B|A 0)=1, P(B|A 1)= 1720于是有（1）α=P(B)= P(A 0)P(B|A 0)+ P(A 1)P(B|A 1)=0.8+0.17=0.97(2) β= P(A 0|B)= P(A 0B)P(B) = P(A0)P(B|A 0) P(B) = 0.80.97 =0.824716. 设随机变量X 服从[0,5]上的均匀分布，求y 的方程4y 2+4Xy+X+2=0有实根的概率。

[解]：方程4y 2+4Xy+X+2=0有实根⇔判别式Δ≥0，即(4X)2-16(X+2)≥0⇔ X 2-X-2≥0 ⇔ X ≥2 或 X ≤ -1所求的概率为P{ X ≥2或X ≤ -1}=P{X ≥2}+P{X ≤-1}=P{X ≥2}=∫2∞f(x)dx=∫2515dx=35 = 0.6(注意X~U[0,5] ,X 的密度函数为f(x)= ⎩⎨⎧1/5 0≤<x ≤50 其它 }17. 设(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ⎩⎨⎧cxy 0≤x ≤2，0≤y ≤2 0 其他(1)求常数c ； (2)求概率P{X ≤1，Y ≤1}。

[解]：(1)1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy =c ∫02xdx ∫02ydy = c(x 22|02)(y 22|02)= 4c ⇒ c=14 (2) P{(X ≤1,Y ≤1)=∫-∞1∫-∞114xydxdy =14∫01xdx ∫01ydy = 14(x 22|01)(y 22|01) = 116四. 综合应用题（本大题共2小题，每小题10分，共20 分）18．已知随机变量 X 和 Y 的分布列分别为 ⎣⎡⎦⎤X -1 0P 1/3 2/3 ， ⎣⎡⎦⎤Y -1 0 1P 1/6 1/2 1/3 且已知: P{XY=1}=1/12, P{XY= -1}=1/6,(1) 求 (X,Y) 的联合分布律；(2) 求 P{XY=0}[解]：(1) 因为事件{XY=1}⇔ 事件{X= -1且Y=-1} ⇒ P{ X= -1,Y=-1}=1/12，事件{XY= -1}⇔ 事件{X= -1且Y=1} ⇒ P{ X= -1,Y= 1}=1/6，于是 P{X= -1,Y= 0}=P{X= -1}- P{ X= -1,Y=-1}- P{ X= -1,Y= 1}=1/3-1/12-1/6=1/12.⇒ P{X= 0,Y= -1}= 1/12, P{X= 0,Y= 0}= 5/12, P{X= 0,Y= 1}= 1/6,由此及X, Y 的边缘分布可得到(X,Y)的联合分布律为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y -1 0 1 -1 1/12 1/12 1/6 0 1/12 5/12 1/6 。