二、非线性模型的线性化
1、线性模型的特征—齐次性和叠加性 2、非线性模型线性化问题的提出—理论研究和工程应用的需要 3、线性化的基本方法—静态工作点附近线性化（级数展开） 4、液位系统线性化模型求取应用实例
三、控制系统数学模型特征
1、微分方程的阶数等于整个系统中独立蓄能元件的个数； 2、同一系统选择不同的输入或输出信号，微分方程的形式则不同； 3、数学模型存在的共性是系统性能仿真研究的理论依据。
G H Q (2 r( (ss s R )1 R ) )2 C 1 C 2 s 2 (1 R C R 1 2 R 2 C 2 R 2 C 1 ) s 1
系统微分方程的求取 RCddq2(tt)q2(t)q1(t)RCddht(t h)(t)Rq1(t)
第三节 传递函数
问题的提出 传递函数的定义及表示形式
零初始条件下输出象函数与输入象函数的比值。 有理真分式多项式
a n c (( n t a ) ) 1 c ( a t 0 c ) b m ( r (t ( m ) t b ) 1 r ( ) b t 0 r ) ( m t n )
二、建立控制系统数学模型的意义 数学模型是进行控制系统性能分析的前提条件。
三、建立控制系统数学模型的方法 1、理论建模* 2、试验建模 3、系统辨识
四、控制系统数学模型的几种形式 1、微分方程 2、传递函数* 3、频率特性*
第二节 微分方程的建立
一、微分方程的建立
1、无源电网络模型实例 2、机械位移实例 3、机械旋转实例 4、直流电动机系统实例
（空载Ml=0）
液位系统线性化模型求取应用实例
解题依据——流体力学的相关定律
求取过程
q1(t)
确定系统的输入和输出
建立原始方程组
h(t)
q2(t)
Cddht(t)q1(t)q2(t)q;2(t) αh(t;)
非线性模型线性化
q2(t)αh(t) q2(t)q20(t)dqd2(tt)q20(t[)h(t)h0(t)] q2(t)q20(t)R1[h(t)h0(t)] q2(t)R1h(t)
u r (t)
_
L R
i(t )
C
u c (t)
_
代入消元消除中间变量i(t) ，获仅含输入输出变量的线性连续微分 方程。并化此方程为降幂排列顺序的规范结构形式，得：
Ld C2d uc( 2ttR )d Cd cu (ttu )c(tu )r(t)
机械位移实例
解题依据
运动学定律： 作用力=反作用力 ; ∑F = m a。
q0
Qr(s)Q0(s)c1sH1(s)
Q0(s)
H1(s)H2(s) R1
Q0(s)Qc(s)c2sH2(s)
qc(t)
h2(t) R2
Qc(s)
H2(s) R2
G Q Q (c r( (ss s ) R 1 ) R )2 C 1 C 2 s 2 (1 R C 1 1 R 2 C 2 R 2 C 1 ) s 1
2、传递函数只适用于线性连续定常系统。 3、传递函数仅描述系统的输入/输出特性。不同的物理系统
可以有相同的传递函数。同一系统中，不同物理量之间对 应的传递函数也不相同。 4、初始条件为零时，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统 的传递函数。 5、实际系统中有n≥m，n称为系统的阶数； 6、传递函数是系统性能分析的最简形式之一。
第二章 线性连续控制系统的数学模型
第一节 基本概念 第二节 微分方程的建立 第三节 传递函数 第四节 动态结构图（方框图） 第五节 动态结构图的等效变换求传递函数 第六节 信号流图和梅逊增益公式 第七节 控制系统的典型传递函数 第八节 典型环节的传递函数
第一节 基本概念
一、控制系统数学模型的定义 描述系统输入与输出动态关系的数学表达式。
机械旋转实例
解题依据
运动学定律： 作用力矩=反作用力矩; ∑M = J a
求取过程
输入—动力矩Mf；输出—物体旋转角度θ(t)或角速度ω(t)。
Jd2θ dt2(t)Mf fddθ t
Mf
f
角位移方dd2θ 程 t2f： ddθ tJMf 角速度方dd程 ω tf： ω JMf
关注：同一个系统，选择的输入或输出变量 不同，则数学模型也随之不同。
直流电动机系统实例
解题依据
基尔霍夫定律；
Ra
La
Ia
运动学定律； 直流发电机相关定律。Ua
Ma Ea
ML Ja
求取过程
Uf
if
电网络平衡方程
电动势平衡方程
机械平衡方程 Ja
转矩平衡方程
dLdaω tddIatMaRaIMaLEaMaUaKECIaa
Keω
JaLa KC
d d2ω 2tJK aRCaddω tKeω Ua
G(R C s( ( )s s a bm ns sn m ) ) a bn m 1 1 s sn m 1 1 a b1 1 s s a b0 0N M( (s s) )
输出响应象函数为： C (sG) (sR)(s )
传递函数的特征及性质 传递函数的求取方法
传递函数的特征及性质
1、传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统的 固有特性，与输入信号类型及大小无关。
无源电网络模型实例
解题依据——基尔霍夫定律
解题步骤及求取过程
确定图示模型的输入和输出： ur(t) 和uc(t)
依据回路电压定律，设置中间变量回路电流i(t)，从输入到输出建
立原始微分方程组；
L
d i( dt
t) R
i
(
t) 1 C
i ( t ) dtur( t )
1
C
i ( t ) dtuc( t )
传递函数的求取方法及应用举例
方法一：依据系统微分方程求确定输入/输出间的传递函数 方法二：依据原始方程组代入消元求传递函数 方法三：电网络系统可利用复阻抗直接求取传递函数 方法四: 依据系统的输入输出信号求传递函数
方法二举例
qr
解题过程：
h1
R1
h2
R2 qc
qq0r((tt))qh01((tt))R1ch12h(1(tt)) q0(t)qc(t)c2h2(t)
F (t)
k
求取过程
m
输入—外力F(t)；输出—质量模块m的位移y(t)。
y (t)Leabharlann fmdd 2y2 t( t)F (tF )B( t)Fk( t )
FB( t
) f
d y(t) dt
Fk( t)k y ( t)
mdd 2y2t(
t )f d y (tk)y dt
(tF)
(
t
)
关注：系统中蓄能元件的个数与微分方程阶 数的关系。