波程差与光程差
波程差与光程差
波程差和光程差是光学中既有区别又有联系的两个概念，切实掌握好这两个概念，不仅是研究光的干涉而且是研究整个波动光学问题的关键，特别是光程差概念．为此，让我们从两个频率相同、振动方向相同的单色简谐波的叠加说起．
如图所示，
1
S和
2
S为真空中两个单色点光源，向外发射频率相同、振动方
向相同的单色光波，P点是两光波叠加区域内的任意一点（所谓的场点），
1
r
和
2
r分别为
1
S和
2
S到P点的距离．设
1
S和
2
S光振动的初相位分别为
1
ϕ和
2
ϕ，
振幅为
10
E、
20
E，则根据波动议程知识不难求得P点的光振动为：⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
2
2
20
2
1
1
10
1
cos
cos
ϕ
ω
ϕ
ω
c
r
t
E
E
c
r
t
E
E
（1）
式中ω为两光波源的振动角频率，c为两光波在真空中的传播速度．于是，
两光波在相遇点P处任何时刻振动的相位差为：
2
1
1
2κ
ϕ
ω
δ-
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
=
c
r
r
，若令2
1
ϕ
ϕ=，两光波在真空中的波长为
λ，并考虑到：
/
2
2λ
π
π
ωc
f=
=，则：()1
2
2
r
r-
=
λ
π
δ（2）
从（2）式可见，两光波在相遇点P处，任一时刻的振动相位差仅与差值
“
1
2
r
r-”有关．因
2
r和
1
r分别为两波源到达观察点P的距离，故差值“
1
2
r
r-”为两
光波到达观察点P所经过的路程之差，波动光学中常称之为波程差
．．．，以∆表
示，即
1
2
r
r-
=
∆．于是，（2）式可改写为：
∆
=
2
λ
π
δ（3）
由此关系式及合成光强度公式：
δ
cos
2
2
1
2
1
I
I
I
I
I⋅
+
+
=
可知，对于任一观察点P，当
λk±
=
∆或)
,2,1,0
(
2Λ
=
±
=k
kπ
δ时，合成光
强I为极大值；当
2
)1
2(0
λ
⨯
+
±
=
∆k或)
,2,1,0
(
)1
2(Λ
=
+
±
=k
kπ
δ时，合成光强I 为极小值．
以上结论在讨论光波的干涉和衍射时是非常重要的，用文字叙述就是：当两列相干光波（同频率、同振动方向、恒定相位差）在真空中相遇时，波程差为半波长的偶数倍的各点，其合成光强度有极大值；波程差为半波长的奇数倍的各点，其合成光强度有极小值；其他各点合成结果介于以上两者之间．按理，同频率、同振动方向的两列单色简谐光波的叠加问题讨论到上述结果就可告一段落，但遗憾的是见得更多的却是光波在不同媒质中的传播，而同一频率的光在不同媒质中的波长是不相同的，这就多少给我们处理问题带来麻烦．
不失一般性，我们假定前述同频率、同振动方向的两个单色点光源发出的两束光各自经过折射率为和的不同媒质，如图所示，则现在P点的光振动应为：
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
2
2
2
20
2
1
1
1
10
1
cos
cos
ϕ
ω
ϕ
ω
v
r
t
E
E
v
r
t
E
E
（4）
式中1v 、2v 分别是1S 、2S 发出的光在折射率为1n 和2n 的媒质中传播的速度．于是，两光波在相遇点P 处任何时刻的相位差应为：
211122ϕϕωδ-+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=v r v r
为方便起见，同样令21ϕϕ=，则有：
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=1122v r v r ωδ （5）
与（3）式相比，（5）式确实变得麻烦了些．但是，通过一定的变换，我们仍可以把（5）式尽量向（3）式形式靠拢．
我们知道，只要光源的频率不变，光在传播过程中频率也不变．设光在真空中的传播速度为c ，波长为0λ；光在媒质中的传播速度为v ，波长为λ'，那么
就有0λf c =及λ'=f v ，或λλ'=0v c ．因为n v
c =（媒质折射率定义）所以： n 0
λλ=' （6）
应用（6）式关系，（5）式可改写成
)(211220r n r n -=λπ
δ （7）
从（7）式可见，两同频、同振动方向的光源发出的光，经过不同的媒质，在相遇点P 处任一时刻的振动相位差唯一地决定于差值)(1122r n r n -．差值中的每一项都是光在媒质中所经历的实际几何路程与该种媒质的折射率的乘积，波动光学中称之为光程，相应的差值)(211220
r n r n -=
λπδ就称为光程差，并仍用符号∆表示，即：
1122r n r n -=∆
如果其中任一列光波在途径中经过了不同的媒质，则总光程应为各段光程之和．引入光程概念后，（7）式就能写成与（3）式完全相同的形式，即
∆⋅
=
2
λ
π
δ（8）
很明显，当光程差
1
1
2
2
r
n
r
n-
=
∆中的1
1
2
=
-n
n时，光程差就等于波程差，因此，（3）式可看作是（8）式的一种特例．又在均匀媒质中，因为
ct
r
v
c
nr=
=，所以，光程也可以认为等于相同时间内光在真空中通过的几何路程．于是，借助于光程这个概念，可将光在媒质中所走的路程折合为光在真空中的路程，相应的光在媒质中的波长也要折合成真空中的波长．这样就便于比较光在不同媒质中所走路程的长短，进而计算相位差．事实上，上面由（5）式到（8）式的整个过程就是体现了这种折合思想．
概括起来讲，只有在真空中，光程差和波程差才没有区别，在媒质中它们是有区别的．下面我们再通过一个简单的例题来巩固和加深对它们的理解．
如图所示，
1
S和
2
S都在真空中，设
2
1
d
d=．在
2
S到P点的联线上插入一片
折射率为n的介质片，厚度为l，求
1
S和
2
S到P点的光程差．
解：
按光程、光程差的定义：
l
n
d
nl
l
d)1
(
)
(
1
2
-
=
-
+
-
=
∆。