二、多元线性回归模型
在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。
因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。
（一）多元线性回归模型的建立
假设某一因变量 y 受k 个自变量x 1,x 2,...,x k 的影响，其n 组观测值为（y a ,x 1a ,x 2a ,...,x ka ），
a 1,.2..,n 。
那么，多元线性回归模型的结构形式为：
y a
1x 1a
2x 2a
... k x ka
a
（3.2.11）
式中：
0,1
,..., k 为待定参数；
a
为随机变量。
如果b 0,b 1,...,b k 分别为 0,1,
2
...
,
k 的拟合值，则回归方程为
?=b 0
b 1x 1 b 2x 2 ...
b k x k （3.2.12）
式中：
b 0为常数；
b 1,b 2,...,b k 称为偏回归系数。
偏回归系数b i （i1,2,...,k ）的意义是，当其他自变量 x j （j i ）都固定时，自变量 x i 每
变化一个单位而使因变
量
y 平均改变的数值。
根据最小二乘法原理， i （i 0,1,2,...,k ）的估计值b i
（i 0,1,2,...,k ）应该使
n
2 n
2
Q
y a y a
y a b 0 b1x1a b2x2a ... bkxk
a min （3.2.13）
a 1
a1
有求极值的必要条件得
Q n
2 y a y a
0 b 0
a 1 （3.2.14）
Q n
2 y a yaxja 0(j
1,2,...,k)
b j
a1
将方程组（3.2.14）式展开整理后得：
n
n
n
n
nb 0 ( x 1a )b 1 ( x 2a )b 2... ( x ka )b k y a
a1 a1 a 1 a 1 n n x 12
a )
b 1 n n n
( x 1a )b 0 ( ( x1ax2a)b2 ... ( x1axka)b
k x1aya
a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 n n n n n （3.2.15）
x 2a )b 0 x 1a x 2a )b 1 x 22a )b 2 x 2a x ka )b k ( ( ( ..
. ( x 2a y a
a 1 a 1 a 1 a 1 a1
n n ...
n n n
( x ka )b 0 (
x 1a x ka )b 1 ( x 2a x ka )b 2 ... ( x ka 2)b k x ka y a a 1 a 1 a 1 a 1 a 1
方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。
如果引入一下向量和矩
阵：
b 0
y 1
1 x
11 x 21 (x)
k1
b 1
1 x
12
x 22 ... x k2
y
2,X b b 2 ,Y 1 x 13
x 23 ... x k3
... ... ...............
y n b k
1 x
1n x
2n ..
.
x
kn
1
1
1... 1 1 x
11 x 21 ... x k1
x
11 x
12 x
13 (x)
1n 1 x
12 x
22 (x)
k2
A X T
X
x 21
x
22
x
23 (x)
2n 1 x
13 x
23 (x)
k3
..............................
x
k1 x
k2 x
k3 (x)
kn 1 x
1n x
2n (x)
kn n n n n x1a x2a ... xka a 1 a 1 a 1
n n n n
x
1a x 12
a x 1a x 2a ... x 1a x
ka
a 1 a 1 a 1 a 1
n n n x 22 n
x
2a x
1a x
2a a (x)
2a x
ka a 1 a1 a 1 a 1
... n ... n ... ... ...
n
n
x ka 2
x
ka x
1a x
ka
x 2a x ka ... a 1 a1 a 1 a 1 n
y a
1 1
1 .. 1 y 1 a 1
.
n x11 x12 x13 (x1)
n y2
a1 x
1a y
a T
n B XY x 21 x 22 x 23 (x)
2n
y 3 x 2a y
a
...
............... a1 ... x k1 x k2 x k3 ... x kn y n
n
x ka y a a1
则正规方程组（ 3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式
Ab B（3.2.15’）求解（3.2.15’）式可得：
b A1B (X T X)1X T Y（3.2.16）
如果引入记号：
n
L ij L ji(x ia x i)(x ja x j)(i,j 1,2,...,k)
a1
n
L iy(x ia x i)(y a y)(i 1,2,...,k)
a1
则正规方程组也可以写成：
L11b1 L12b2 ... L1k b k
L21b1 L22b2 ... L2k b k
...........
.
L k1b1 L k2b2 ..
. L kk b k
b0y b1x1 b2x2...
L1y
L2y
（3.2.15’’）L ky
b k x k
（二）多元线性回归模型的显著性检验
与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。
与前面的一元线性回归分析一样，因变量y的观测值 y1,y2,...,y n之间的波动或差异，是由两个因素引起的，一是由于自变量x1,x2,...,xk的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起
的。
为了从y的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分
析，也就是将
y的离差平方和S T或（Lyy）分解成两个部分，即回归平方
和U与剩余平方和Q：
STLyy U Q
在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有k个自变量对y的变差的总影响，它可以按公式
n 2
k
U (y a y) b i L iy
a 1 i1
计算，而剩余平方和为
n 2
Q (y a y a) L yy U
a 1
以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。
它们所代表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方
和Q就越小，回归模型的效果就越好。
不过，在多元线性回归
分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和U的自由度等于自变量的个数k，而剩余平方和的自由度等于nk 1，所以F统计量为：
U/k
F
Q/(n k 1)
当统计量 F计算出来之后，就可以查F分布表对模型进行显著性检验。