二、多元线性回归模型
在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。

因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。

（一）多元线性回归模型的建立
假设某一因变量y 受k 个自变量k x x x ,...,,21的影响，其n 组观测值为（ka a a a x x x y ,...,,,21），
n a ,...,2,1=。

那么，多元线性回归模型的结构形式为：
a ka k a a a x x x y εββββ+++++=...22110（3.2.11）
式中：
k βββ,...,1,0为待定参数； a ε为随机变量。

如果k b b b ,...,,10分别为k ββββ...,,,210的拟合值，则回归方程为
ŷ=k k x b x b x b b ++++...22110（3.2.12）
式中：
0b 为常数；
k b b b ,...,,21称为偏回归系数。

偏回归系数i b （k i ,...,2,1=）的意义是，当其他自变量j x （i j ≠）都固定时，自变量i x 每变化一个单位而使因变量y 平均改变的数值。

根据最小二乘法原理，i β（k i ,...,2,1,0=）的估计值i b （k i ,...,2,1,0=）应该使
()[]min (2)
1
2211012
→++++-=⎪⎭⎫
⎝⎛-=∑∑==∧
n a ka k a a a n
a a a x
b x b x b b y y y Q （3.2.13）
有求极值的必要条件得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=⎪⎭⎫
⎝⎛--=∂∂∑∑=∧=∧n a ja a a j
n a a a k j x y y b Q y y b Q 110)
,...,2,1(0202（3.2.14） 将方程组（3.2.14）式展开整理后得：
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
=++++=++++=++++=++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===================n
a a ka k n a ka n a ka a n a ka a n a ka n a a
a k n a ka a n a a n a a a n
a a n
a a
a k n a ka a n a a a n a a n a a n
a a
k n a ka n a a n a a y x b x b x x b x x b x y x b x x b x b x x b x y x b x x b x x b x b x y b x b x b x nb 11221211101
1
212212
2112101
21111212111210111
12121110)(...)()()(...)(...)()()()(...)()()()(...)()( （3.2.15）
方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。

如果引入一下向量和矩阵：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=kn n n k k k n k x x x x x x x x x x x x X y y y Y b b b b b ...
1..................1...1...1,...
, (2132313)
222121********* ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==kn n
n
k k k kn k k k n n T x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x X X A ...
1
...............
...1
...1 (1)
........................1 (11)
1
213231322212121
113
2
1
2232221
1131211
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===============n a ka n a ka a n a ka a n a ka n
a ka a n a a
n a a a n a a
n
a ka a n a a a n a a n
a a n
a ka n
a a
n
a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n 12
12111
1
212
2121121
11211211111211...........................
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∑====n a a ka n
a a a n a a a n a a n kn k k k n n T y x y x y x y y y y y x x x x x x x x x x x x Y X B 11
211132132122322211131211..............................1 (111)
则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式
B Ab =（3.2.15’）
求解（3.2.15’）式可得：
Y X X X B A b T T 11)(--==（3.2.16）
如果引入记号：
),...,2,1,())((1
k j i x x x x L L n
a j ja i ia ji ij =--==∑=
),...,2,1())((1
k i y y x x L n
a a i ia iy =--=∑=
则正规方程组也可以写成：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨
⎧----==+++=+++=+++k
k ky
k kk k k y k k y k k x b x b x b y b L
b L b L b L L b L b L b L L b L b L b L ........................2211022112222212111212111（3.2.15’’）
（二）多元线性回归模型的显著性检验
与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。

与前面的一元线性回归分析一样，因变量y 的观测值n y y y ,...,,21之间的波动或差异，是由两个因素引起的，一是由于自变量k x x x ,...,,21的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起的。

为了从y 的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y 的离差平方和T S 或（L yy ）分解成两个部分，即回归平方和U 与剩余平方和Q ：
Q U L S yy T +==
在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有k 个自变量对y 的变差的总影响，它可以按公式
∑∑==∧
=-=k
i iy i n
a a L
b y y U 1
2
1
)(
计算，而剩余平方和为
U L y y Q yy n
a a a -=-=∑=∧
2
1
)(
以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。

它们所代表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方和Q 就越小，回归模型的效果就越好。

不过，在多元线性回归分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和U 的自由度等于自变量的个数k ，而剩余平方和的自由度等于1--k n ，所以F 统计量为：
)
1/(/--=
k n Q k
U F
当统计量F 计算出来之后，就可以查F 分布表对模型进行显著性检验。