2019年江苏省淮安市高考数学一模试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把每小题的答案填在答题纸相应的位置上)1.若集合A={0,1},集合B={0,﹣1},则A∪B=.2.命题:“∃x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是.3.复数Z满足(1+i)Z=|1﹣i|,是Z的虚部为.4.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查,则月收入在[2500,3000)(元)内应抽出人.5.如图是一个算法的流程图,若输入n的值是10,则输出S的值是.6.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则摸到同色球的概率为.7.已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1(a>0)的右焦点,则双曲线的右准线方程.8.已知函数的定义域是,则实数a的值为.9.若函数f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则函数的单调增区间为.10.已知等差数列{a n}的首项为1,公差为2,若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立,则实数t的取值范围是.11.在等腰△ABC中,CA=CB=6,∠ACB=120°,点M满足=2,则•等于.12.若对满足条件x+y+3=xy(x>0,y>0)的任意x,y,(x+y)2﹣a(x+y)+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是.13.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆上存在点P,使得∠APB=90°,则m的取值范围是.14.已知A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2)是函数f(x)=x3﹣|x|图象上的两个不同点,且在A,B两点处的切线互相平行,则的取值范围为.二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠B=(1)若a=2,b=2,求c的值;(2)若tanA=2,求tanC的值.16.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知∠ACB=90°,BC=CC1,E、F分别为AB、AA1的中点.(1)求证:直线EF∥平面BC1A1;(2)求证:EF⊥B1C.17.如图,有一块扇形草地OMN,已知半径为R,∠MON=,现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用,其中点A、B在弧MN上,且线段AB平行于线段MN(1)若点A为弧MN的一个三等分点,求矩形ABCD的面积S;(2)当A在何处时,矩形ABCD的面积S最大?最大值为多少?18.已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线分别交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求线段MN的长度的最小值;(3)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上是否存在这样的点T,使得△TSB的面积为?若存在,确定点T的个数,若不存在,说明理由.19.已知数列{a n}的首项为a(a≠0),前n项和为S n,且有S n+1=tS n+a (t≠0),b n=S n+1.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)当t=1,a=2时,若对任意n∈N*,都有k(++…+)≤b n,求k的取值范围;(Ⅲ)当t≠1时,若c n=2+b1+b2+…+b n,求能够使数列{c n}为等比数列的所有数对(a,t).20.已知函数f(x)=e x﹣a(x﹣1),其中,a∈R,e是自然对数的底数.(1)当a=﹣1时,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性,并写出相应的单调区间;(3)已知b∈R,若函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,求ab的最大值.数学Ⅱ(附加题)A.(几何证明选讲)21.如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的中点,求BC的长.B.(矩阵与变换)22.已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为,求实数a、b的值.C.(极坐标与参数方程)23.将参数方程(θ为参数,t为常数)化为普通方程(结果可保留e).D.(不等式选讲)24.设a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=1,求证: ++≥9.三.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25.已知一口袋中共有4只白球和2只红球(1)从口袋中一次任取4只球,取到一只白球得1分,取到一只红球得2分,设得分为随机变量X,求X的分布列与数学期望;(2)从口袋中每次取一球,取后放回,直到连续出现两次白球就停止取球,求6次取球后恰好被停止的概率.26.在平面直角坐标系xoy中,已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B,且满足,过A、B两点分别作抛物线的切线,设两切线的交点为M.(1)求:•的值;(2)证明:为定值.参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把每小题的答案填在答题纸相应的位置上)1.若集合A={0,1},集合B={0,﹣1},则A∪B={﹣1,0,1} .【考点】并集及其运算.【分析】A∪B={x|x∈A或x∈B}.【解答】解:A∪B={﹣1,0,1}.故答案为:{﹣1,0,1}.2.命题:“∃x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是∀x∈R,x2+2x+m>0.【考点】命题的否定.【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.【解答】解:命题是特称命题,则命题的否定是“∀x∈R,x2+2x+m>0”,故答案为“∀x∈R,x2+2x+m>0”3.复数Z满足(1+i)Z=|1﹣i|,是Z的虚部为.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义即可得出.【解答】解:∵复数Z满足(1+i)Z=|1﹣i|,∴Z===i,∴Z的虚部为﹣.故答案为:﹣.4.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查,则月收入在[2500,3000)(元)内应抽出25人.【考点】用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图.【分析】直方图中小矩形的面积表示频率,先计算出[2500,3000)内的频率,再计算所需抽取人数即可.【解答】解:由直方图可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出2500×=25人.故答案为:25.5.如图是一个算法的流程图,若输入n的值是10,则输出S的值是54.【考点】程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是输出满足条件n<2时,S=10+9+8+ (2)值.【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是输出满足条件n<2时,S=10+9+8+…+2的值.∵S=10+9+8+…+2=54的值,故输出54.故答案为:54.6.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则摸到同色球的概率为.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】先求出基本事件总数n==10,再求出摸到同色球包含的基本事件个数m=,由此能求出摸到同色球的概率.【解答】解:一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,基本事件总数n==10,摸到同色球包含的基本事件个数m=,∴摸到同色球的概率p==.故答案为:.7.已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1(a>0)的右焦点,则双曲线的右准线方程x=.【考点】抛物线的简单性质.【分析】根据抛物线的方程,算出它的焦点为F(2,0),即为双曲线的右焦点,由此建立关于a的等式并解出a值,进而可得此双曲线的右准线方程.【解答】解:∵抛物线方程为y2=8x,∴2p=8,可得抛物线的焦点为F(2,0).∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1(a>0)的右焦点,∴双曲线的右焦点为(2,0),可得c==2,解得a2=1,因此双曲线的右准线方程为x=.故答案为:x=.8.已知函数的定义域是,则实数a的值为.【考点】对数函数的定义域.【分析】根据函数的定义域,得出x>时,1﹣>0;由此求出函数的自变量x>log2a;令log2a=,即可求出a的值.【解答】解:∵函数的定义域是,∴当x>时,1﹣>0;即<1,∴a<2x,∴x>log2a;令log2a=,得a==;∴实数a的值为.故答案为:.9.若函数f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则函数的单调增区间为[16k﹣6,16k+2],k∈Z.【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式,再利用正弦函数的单调性,求得函数的单调增区间.【解答】解:由函数f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象,可得A=,==2+2,求得ω=,再根据五点法作图可得•2+φ=,∴φ=,∴f(x)=sin(x+).令2kπ﹣≤x+≤2kπ+,求得16k﹣6≤x≤16k+2,可得函数的增区间为[16k﹣6,16k+2],k∈Z,故答案为:[16k﹣6,16k+2],k∈Z.10.已知等差数列{a n}的首项为1,公差为2,若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立,则实数t的取值范围是(﹣∞,﹣12] .【考点】数列的求和.【分析】由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2(a1﹣a3)+a4(a3﹣a5)+…+a2n(a2n﹣1﹣a2n+1)=4(a2+a4+…+a2n),结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式,解不等式可求对n∈N*恒成立,转化为求解函数的最值即可【解答】解:a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2(a1﹣a3)+a4(a3﹣a5)+…+a2n(a2n﹣1﹣a2n+1)=﹣4(a2+a4+…+a2n)=,所以﹣8n2﹣4n≥tn2,所以t≤﹣8﹣对n∈N*恒成立,t≤﹣12,故答案为(﹣∞,﹣12]11.在等腰△ABC中,CA=CB=6,∠ACB=120°,点M满足=2,则•等于0.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由向量加法的三角形法则得出=+,再利用向量数量积的运算性质求出结果.【解答】解:等腰△ABC中,CA=CB=6,∠ACB=120°,且=2,∴=+=+(﹣)=+,∴•=(+)•=•+=×6×6×cos120°+×62=0.故答案为:0.12.若对满足条件x+y+3=xy(x>0,y>0)的任意x,y,(x+y)2﹣a (x+y)+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是a.【考点】函数恒成立问题;基本不等式.【分析】由基本不等式可得,x+y+3=xy≤,从而可求x+y的范围,然后由(x+y)2﹣a(x+y)+1≥0得a恒成立,则只要a ≤即可【解答】解:∵x>0,y>0∴x+y+3=xy≤∴x+y≥6由(x+y)2﹣a(x+y)+1≥0可得a恒成立令x+y=t,f(t)=t+在[6,+∞)上单调递增,则当t=6时f(t)min=f (6)=∴a≤故答案为:a≤13.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆上存在点P,使得∠APB=90°,则m的取值范围是[4,6] .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】根据圆心C到O(0,0)的距离为5,可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6,最小值为4,再由∠APB=90°,可得PO=AB=m,从而得到答案.【解答】解:圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径为1,∵圆心C到O(0,0)的距离为5,∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6,最小值为4,再由∠APB=90°,以AB为直径的圆和圆C有交点,可得PO=AB=m,故有4≤m≤6,故答案为:[4,6].14.已知A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2)是函数f(x)=x3﹣|x|图象上的两个不同点,且在A,B两点处的切线互相平行,则的取值范围为(﹣1,0).【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式,然后求导,通过在A,B两点处的切线互相平行,即在A,B两点处的导数值相等,分析出A点在y轴的右侧,B点在y轴的左侧.根据A,B两点处的导数相等,得到x1与x2的关系式,根据关系式得出它表示的曲线,然后利用式子的几何意义求解.【解答】解:由题意,f(x)=x3﹣|x|=,当x≥0时,f′(x)=3x2﹣1,当x<0时,f′(x)=3x2+1,因为在A,B两点处的切线互相平行,且x1>x2,所以x1>0,x2<0 (否则根据导数相等得出A、B两点重合),所以在点A(x1,y1)处切线的斜率为f′(x1)=3﹣1,在点B(x2,y2)处切线的斜率为f′(x2)=3+1所以3﹣1=3+1,即,(x1>x2,x2<0)表示的曲线为双曲线在第四象限的部分,如图:表示这个曲线上的点与原点连线的斜率,由图可知取值范围是(﹣1,0),故答案为:(﹣1,0).二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠B=(1)若a=2,b=2,求c的值;(2)若tanA=2,求tanC的值.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)△ABC中,由条件利用余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c•cos,由此求得c的值.(2)由tanA=2,tanB=tan=,再根据tanC=﹣tan(A+B)=,计算求得结果.【解答】解:(1)△ABC中,∵a=2,b=2,∠B=,由余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c•cos=4+c2﹣2c,求得c=4,或c=﹣2(舍去),即c=4.(2)若tanA=2,∵tanB=tan=,∴tanC=﹣tan(A+B)===.16.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知∠ACB=90°,BC=CC1,E、F分别为AB、AA1的中点.(1)求证:直线EF∥平面BC1A1;(2)求证:EF⊥B1C.【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.【分析】(1)欲证直线EF∥平面BC1A1,只需证明EF平行平面BC1A1中的一条直线即可,由E、F分别为AB、AA1的中点,可知EF∥A1B,EF∥A1B⊂平面BC1A1,问题得证.(2)欲证EF⊥B1C,只需证明EF的平行线A1B垂直于B1C即可,也即证明B1C垂直于A1B所在的平面BA1C1,又须证明B1C垂直于平面BA1C1中的两条相交直线,由三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,以及∠ACB=90°,BC=CC1,极易证明BC1⊥B1C,A1C1⊥B1C,而BC1,A1C1为平面BA1C1中的两条相交直线,问题得证.【解答】解:(1)∵E、F分别为AB、AA1的中点,∴EF∥A1B∵EF⊈平面BC1A1,A1B⊆平面BC1A1∴EF∥平面BC1A1.(2)∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,∴AC⊥CC1,∴AC⊥平面BB1C1C,∴AC⊥B1C,又∵A1C1∥AC,∴A1C1⊥B1C,∵BC=CC1,BC⊥CC1,∴BC1⊥B1C∴B1C⊥平面BA1C1,∴B1C⊥A1B由(1)知,EF∥A1B∴EF⊥B1C.17.如图,有一块扇形草地OMN,已知半径为R,∠MON=,现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用,其中点A、B在弧MN上,且线段AB平行于线段MN(1)若点A为弧MN的一个三等分点,求矩形ABCD的面积S;(2)当A在何处时,矩形ABCD的面积S最大?最大值为多少?【考点】扇形面积公式.【分析】(1)作OH⊥AB于点H,交线段CD于点E,连接OA、OB,求出AB,EH,可得矩形ABCD的面积S;(2)设∠AOB=θ(0<θ<),求出AB,EH,可得矩形ABCD的面积S,再求最大值.【解答】解:(1)如图,作OH⊥AB于点H,交线段CD于点E,连接OA、OB,∴∠AOB=,…∴AB=24sin,OH=12cos,OE=DE=AB=12sin,∴EH=OH﹣OE=12(cos﹣sin),S=AB•EH=144(2sin cos﹣2sin2)=72(﹣1)…(2)设∠AOB=θ(0<θ<),则AB=24sin,OH=12cos,OE=AB=12cos,∴EH=OH﹣OE=12(cos﹣sin),S=AB•EH=144(2sin cos﹣2sin2)=144[sin(θ+)﹣1],…∵0<θ<,∴θ+=即θ=时,S max=144(﹣1),此时A在弧MN的四等分点处.…18.已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线分别交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求线段MN的长度的最小值;(3)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上是否存在这样的点T,使得△TSB的面积为?若存在,确定点T的个数,若不存在,说明理由.【考点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(1)因为直线过椭圆的左顶点与上顶点,故可解出直线与坐标轴的交点,即知椭圆的长半轴长与短半轴长,依定义写出椭圆的方程即可.(2)法一、引入直线AS的斜率k,用点斜式写出直线AS的方程,与l的方程联立求出点M的坐标,以及点S的坐标,又点B的坐标已知,故可解出直线SB的方程,亦用参数k表示的方程,使其与直线l联立,求出点N的坐标,故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数,根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值,本题适合用基本不等式求最值.法二、根据图形构造出了可用基本不等式的形式来求最值.(3)在上一问的基础上求出参数k,则直线SB的方程已知,可求出线段AB的长度,若使面积为,只须点T到直线BS的距离为即可,由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题,下易证【解答】解:(1)由已知得,椭圆C的左顶点为A(﹣2,0),上顶点为D(0,1),∴a=2,b=1故椭圆C的方程为(2)依题意,直线AS的斜率k存在,且k>0,故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而,由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2﹣4=0设S(x1,y1),则得,从而即,又B(2,0)由得,∴,故又k>0,∴当且仅当,即时等号成立.∴时,线段MN的长度取最小值(2)另解:设S(x s,y S),依题意,A,S,M三点共线,且所在直线斜率存在,由k AM=k AS,可得同理可得:又所以,=不仿设y M>0,y N<0当且仅当y M=﹣y N时取等号,即时,线段MN的长度取最小值.(3)由(2)可知,当MN取最小值时,此时BS的方程为,∴要使椭圆C上存在点T,使得△TSB的面积等于,只须T到直线BS 的距离等于,所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上.设直线l':x+y+t=0,则由,解得或.又因为T为直线l'与椭圆C的交点,所以经检验得,此时点T有两个满足条件.19.已知数列{a n}的首项为a(a≠0),前n项和为S n,且有S n+1=tS n+a (t≠0),b n=S n+1.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)当t=1,a=2时,若对任意n∈N*,都有k(++…+)≤b n,求k的取值范围;(Ⅲ)当t≠1时,若c n=2+b1+b2+…+b n,求能够使数列{c n}为等比数列的所有数对(a,t).【考点】等比数列的性质.【分析】(Ⅰ)根据条件和“n=1时a1=S1、当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1”,化简S n+1=tS n+a(t≠0),再由等比数列的定义判断出数列{a n}是等比数列,利用等比数列的通项公式求出a n;(Ⅱ)由条件和(I)求出b n,代入化简利用裂项相消法求出,代入已知的不等式化简后,利用函数的单调性求出对应函数的最小值,从而求出k的取值范围;(Ⅲ)利用条件和等比数列的前n项和公式求出S n,代入b n化简后,利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出c n,化简后利用等比数列的通项公式特点列出方程组,求出方程组的解即可求出结论.【解答】解:(Ⅰ)解:(Ⅰ)由题意知,首项为a,且S n+1=tS n+a(t ≠0),当n=1时,则S2=tS1+a,解得a2=at,当n≥2时,S n=tS n﹣1+a,∴(S n+1﹣S n)=t(S n﹣S n﹣1),则a n+1=ta n,又a1=a≠0,综上有,即{a n}是首项为a,公比为t的等比数列,∴;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,=2,则S n=2n,∴b n=S n+1=2n+1,则==,∴= [()+()+] =()=,代入不等式k(++…+)≤b n,化简得,k≤=3(4n+),∵函数y=在(,+∞)上单调递增,且n取正整数,∴当n=1时,函数y=取到最小值是15,∴k≤45;(Ⅲ)∵t≠1,∴S n=,则b n=S n+1=1+=1+﹣,∴c n=2+b1+b2+…+b n=2+(1+)n﹣(t+t2+…+t n)=2+(1+)n﹣×=++,由题设知{c n}为等比数列,所以有,解得,即满足条件的数对是(1,2).20.已知函数f(x)=e x﹣a(x﹣1),其中,a∈R,e是自然对数的底数.(1)当a=﹣1时,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性,并写出相应的单调区间;(3)已知b∈R,若函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,求ab的最大值.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出a=﹣1的函数的导数,求出切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到;(2)求出导数,讨论当a≤0时,当a>0时,令导数大于0,得增区间,令导数小于0,得减区间;(3)由(2)可得,a>0时f(x)取得极小值也为最小值,由恒成立思想可得a(2﹣lna)≥b,则ab≤a2(2﹣lna),令t=a2(2﹣lna),求得导数,求出极大值也为最大值,即可得到.【解答】解:(1)当a=﹣1时,f(x)=e x+x﹣1的导数为f′(x)=e x+1,函数f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为e+1,又切点为(1,e),则切线方程为y﹣e=(e+1)(x﹣1),即为(e+1)x﹣y﹣1=0;(2)函数f(x)=e x﹣a(x﹣1)的导数f′(x)=e x﹣a,当a≤0时,f′(x)>0,f(x)递增,则f(x)的增区间为(﹣∞,+∞);当a>0时,f′(x)>0,解得,x>lna,f′(x)<0,解得,x<lna.即有f(x)的增区间为(lna,+∞),减区间为(﹣∞,lna);(3)由(2)可得,a≤0时,f(x)递增,无最值;当a>0时,f(x)在(﹣∞,lna)上递减,在(lna,+∞)上递增,则f(x)在x=lna处取得极小值也为最小值,且为a﹣a(lna﹣1)=a (2﹣lna).函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,则有a(2﹣lna)≥b,则ab≤a2(2﹣lna),令t=a2(2﹣lna),则t′=2a(2﹣lna)﹣a=a(3﹣2lna),当0<a<时,t′>0,t递增;当a>时,t′<0,t递减.则t在a=时取得极大,也为最大,且为e3(2﹣)=e3.则ab的最大值为e3.数学Ⅱ(附加题)A.(几何证明选讲)21.如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的中点,求BC的长.【考点】弦切角.【分析】连接OD,则OD⊥DC,在Rt△OED中,,所以∠ODE=30°.在Rt△0DC中,∠DCO=30°,由DC=2,能求出BC的长.【解答】解:连接OD,则OD⊥DC在Rt△OED中,∵E是OB的中点,∴所以∠ODE=30°…在Rt△ODC中,∠DCO=30°…∵DC=2,∴,∴OC==所以BC=OC﹣OB=OC﹣OD==.…B.(矩阵与变换)22.已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为,求实数a、b的值.【考点】特征值与特征向量的计算.【分析】由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=b,即可求实数a、b的值.【解答】解:由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=b,所以,解得a=1,b=3.C.(极坐标与参数方程)23.将参数方程(θ为参数,t为常数)化为普通方程(结果可保留e).【考点】参数方程化成普通方程.【分析】当t=0时,y=0,x=cosθ,即y=0,且﹣1≤x≤1;当t≠0时,sinθ=,cosθ=【解答】解:当t=0时,y=0,x=cosθ,即y=0,且﹣1≤x≤1;当t≠0时,sinθ=,cosθ=所以.D.(不等式选讲)24.设a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=1,求证: ++≥9.【考点】不等式的证明.【分析】由a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=1,运用乘1法和三元均值不等式,以及不等式的性质,即可得证.【解答】证明:因为a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=1,所以=,(当且仅当时等号成立)所以.三.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25.已知一口袋中共有4只白球和2只红球(1)从口袋中一次任取4只球,取到一只白球得1分,取到一只红球得2分,设得分为随机变量X,求X的分布列与数学期望;(2)从口袋中每次取一球,取后放回,直到连续出现两次白球就停止取球,求6次取球后恰好被停止的概率.【考点】离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率.【分析】(1)根据题意可得:X的可能取值为4、5、6,再分别求出其复数的概率,即可得到X的分布列,进而得到其数学期望.(2)设“6次取球后恰好被停止”为事件A,后面两次一定是白球,前面4次可以出现白球,只要保证出现的白球不连续出现2次并且与后面的白球也不连续即可.【解答】解:(1)根据题意可得:X的可能取值为4、5、6.所以P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=属于X的分布列为:P 4 5 6X属于X的数学期望为:5分(2)设“6次取球后恰好被停止”为事件A则∴6次取球后恰好被停止的概率为.26.在平面直角坐标系xoy中,已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B,且满足,过A、B两点分别作抛物线的切线,设两切线的交点为M.(1)求:•的值;(2)证明:为定值.【考点】平面向量数量积的运算;抛物线的简单性质.【分析】(1)先设出动点A、B的坐标,结合,消去λ求出A、B的坐标之间的关系,即可得到•的值;(2)先求出过A、B两点的切线方程,联立求出M的坐标,再代入整理即可得到答案.【解答】解:(1)设∵焦点F(0,1)∴∵∴,∴x1x2=﹣4∴y1y2==1∴=﹣3(定值)(2)抛物线方程为y=x∴过抛物线A、B两点的切线方程分别为y=即y=∴=0 (定值)第31页(共31页)。