带电粒子在圆形边界匀强磁场中的圆周运动例析
（浙江永康二中 吕未寒 321300）
带电粒子以一定速度垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力充当向心力，粒子将做匀速圆周运动。
解决带电粒子在圆形匀强磁场中的偏转解题基本思路：（四项基本原则）
●画轨迹——根据初速度和受力方向画 ●定圆心——根据两条直径相交在圆心定
●找关系——找力学关系、线度关系、角度关系
●求变量——求半径或长度、周期或时间、其它物理量
解题时画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
偏转角度θ可由R
r
=2
tan θ求出，经历时间由qB
m t θ=得出。
注意：带电粒子运动具有对称性，射出线的反向
延长线必过磁场圆的圆心。
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的三个基本公式：
①洛伦兹力提供向心力 r
m v qvB 2
=
②轨迹半径 ,qB
m v r =
③周期 qB
m T π2= （T 与r ，v 无关）
一、 临界值问题
例题1.如图所示，两个同心圆,半径分别为r 和2r ,在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B 。
圆心O 放射源,放出粒子的质量为m ,带电量为q ,假设粒子速度方向都和纸面平行。
（1）图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A 则初速度的大小是多少？
（2）要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少? 解：（1）如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得
331r R =
（2分） 由1
2
11R v m B qv =（2分）
得m
Bqr
v 331=
（2分） （2）设粒子在磁场中的轨道半径为R 2，
则由几何关系 22
222)2(r R R r +=- (1分)
得r R 4
3
2=
（1分） 由 2
22
2R v m B qv = (2分)
得m
Bqr
v 432=
(1分) 例题2.甲图为质谱仪的原理图．带正电粒子从静止开始经过电势差为U 的电场加速后，从G 点垂直于MN 进入偏转磁场．该偏转磁场是一个以直线MN 为上边界、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B ，带电粒子经偏转磁场后，最终到达照相底片上的H 点．测得G 、H 间的距离为 d ，粒子的重力可忽略不计．
（1）设粒子的电荷量为q ，质量为m ，试证明该粒子的比荷为：22
8q U m B d =；
（2）若偏转磁场的区域为圆形，且与MN 相切于G 点，如图乙所示，其它条件不变。
要保证上述粒子从G 点垂直于MN 进
入偏转磁场后不能．．打到MN 边界上（MN 足够长），求磁场区域的半径应满足的条件。
解：（1）粒子经过电场加速，进入偏转磁场时速度为v 有
221mv qU =
① （1分）
进入磁场后做圆周运动，轨道半径为r
r
v m qvB 2
= ② （2分）
打到H 点有 2d
r =
③ （1分） 由①②③得
228d B U m q = （2）要保证所有粒子都不能打到MN 边界上，粒子在磁场中运动偏角小于90°，临界状态为90°，如图所示，磁场区半径
乙
N
M
G
2
d
r R =
= （2分） 所以磁场区域半径满足2
d
R ≤ （2分）
二、重复性问题
例题3．如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a 、b 、c 和d ，外筒的外半径为r ，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的
大小为B 。
在两极间加上电压，使两圆筒之间的区
域内有沿半径向外的电场。
一质量为ｍ、带电量为
＋q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a 的S 点出发，
初速为零。
如果该粒子经过一段时间的运动之后恰
好又回到出发点S ，则两电极之间的电压U 应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）
解析：如图所示，带电粒子从S 点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a 而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。
粒子再回到S 点的条件是能沿径向穿过狭缝d .只要穿过了d ，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d 重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c 、b ，再回到S 点。
设粒子进入磁场区的速度大小为v ，根据动能定
理，有 22
1mv qU =
设粒子做匀速圆周运动的半径为R ，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有
R
v m
qvB 2=
由前面分析可知，要回到S 点，粒子从a 到d 必经过
43圆周，所以半径R 必定等于筒的外半径r ，即R=r 。
由以上各式解得m
qr B U 222=。
例题4．如图所示，一个质量为m 、电量为q 的正离子，从A 点正对着圆心O 以速度v 射入半径为R 的绝缘圆筒中。
圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场。
要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A 点射出，设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。
求：（1）磁感应强度的大小B 为多大？ （2）正离子在磁场中运动的时间t . 解析：（1）设粒子与圆筒内壁碰撞n 次（2≥n ）
a
c
r
v m B q 2
v =（力学关系）
则每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为2π/（n+1）（角度关系）
1tan +=n R r π
（线度关系）
得：1
tan
+=
n qR mv B π
（2）根据周期公式 qB
m
T π2=
粒子每碰撞一次运动时间 T t π
θ20= 几何关系得 1
2+-
=n π
πθ 粒子在磁场中运动时间 0)1(t n t += 得qB
m
n m t ππ)1(2+-=
点评：临界值问题中由于粒子运动轨迹半径与粒子运动速度为正比关系，带电粒子不能穿出磁场的临界条件是其运动轨迹圆与磁场边界圆相切。
对于解决这类问题关键在于运动图景的描绘，利用几何法求解极值。
重复性问题中由于粒子受到电场作用或者碰撞作用，使粒子速度方向，导致粒子运动偏转方向改变。
只要抓住带电粒子运动的对称性，其射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。
遵循解题四原则：画轨迹，定圆心，找关系（力学关系、线度关系、角度关系），求变量，即可求解。