高中数列方法与解题技巧一、数列求通项的10种方法二、数列求和的7种方法三、6道高考数列大题数列求通项的10种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式.方法：等式两边同时除以12n + ，构造成等差数列，利用等差数列公式求解。

形式：n a 项系数与后面所加项底数相同二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式.方法： 12121........................211n n a a n a a +--=+=⨯- 将上述各式累加，中间式子首尾项相抵可求得n a形式：()1n n a a f n +=+； 要求1n a +、n a 的系数均为1，对于n a 不为1时，需除以系数化为1。

例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.方法：同例2例4 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.方法：等式的两边同除以3，，将n a 系数化为1，再用累加法。

三、累乘法例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式.。

方法：()()1121215..........................2115nn na n a a a +=+=+ 将上述各式累乘，消除中间各项，可求得n a形式：()1n n a f n a +=•；1n n a +是a 的关于n 的倍数关系。

例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式. 方法：本题与例5不同之处是想要通过错位相减法，求出1n n a a +与 的递推关系，然后才能用累成法求。

四、待定系数法（X,Y,Z 法）例7 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式.方法：构造数列()11525,n n n n a x a x x +++•=+•反解。

形式：()1n n a ka f n +=+例8 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：构造数列()11232n n n n a x y a x y +++•+=+•+ ，本题中递推关系中含常数4，对于常数项，可看成是0n 。

对于不同形式的n 要设不同的参数。

例9 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：同例8，但它的参数要设3个。

五、对数变换法例10 已知数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式.方法：等式两边同取对数得到1lga lg2lg35lg n n n a +=++ ，然后可利用待定系数法或者累加法求之。

形式：()1x n n a f n a += ,其中对与n a 的高次方特别有效。

六、迭代法例11 已知数列{}n a 满足3(1)2115nn n n a a a ++==，，求数列{}na 的通项公式. 方法：按照数列对应函数关系，由1a 逐层加上去，直到推到n a 为止。

形式：()1n n a f a +=七、数学归纳法 例12 已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：演算n a 的前4项，猜测、发现项数n 与项值之间的关系，然后证明猜测的正确性。

形式：对于形式比较繁复，无从下手时，可以考虑用数归法去大胆猜测。

八、换元法例13 已知数列{}n a满足111(14116n n a a a +=+=，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：令n b =，可将数列n a 递推关系转化为数列n b的递推关系。

从而去掉，实现有理化或者整式化。

形式：111n n n a f a f a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭或者九、不动点法例14 已知数列{}n a 满足112124441n n n a a a a +-==+，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：求函数()212441x x f x x -==+ ，两个自变量与对应函数相等时的值，解得122,3x x == 。

即存在k 使得113322n n n n a a k a a ++--=-- ，由此可构成新的等比数列 形式：()()112n n n f a a f a += ，且对应函数有两个不同的解。

例15 已知数列{}n a 满足1172223n n n a a a a +-==+，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：本题对应函数的解相等，为1，所以不能用不动点法，只能才用数归法做。

十、阶差法（逐项相减法）例16 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1(1)(2)6n n n S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式.方法：由1nn n a s s -=- 推出1n n a a -与 的递推关系，然后再求数列n a 的通项。

形式：()nn s f a =练习 已知数列}{n a 中, 0>n a 且2)1(21+=n n a S ,求数列}{n a 的通项公式.数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值.二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ [例6] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6) nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. [例11] 求证：οοοοοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值 .七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.[例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.四川高考理科数学试题2008年--2013年数列解答题设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记*4()1n n n a b n N a +=∈-。