所以 ω=2,故 f(x)的最小正周期为22π=π.
答案:C
专题一 专题二 专题三
(3)思路分析:利用换元法转化为求二次函数的最值问题.
解:令t=sin x.
因为|x|≤π4,所以- 22≤sin x≤ 22.
所以 y=-t2+t+1=-
������-
1 2
2
+
5 4
-
2 2
≤
������
≤
2 2
答案:C
专题一 专题二 专题三
(2)解:①由题意得 A=3,12T=5π,
∴T=10π,∴ω=2���π���
= 15.∴y=3sin
1 ������ + ������
B.
-
3π 4
,
π 4
上是增加的
C.
-
π 2
,
π 4
,
5π 4
上是增加的
y=(12)的已交知点函中数,若f(x相)=邻2s交in点������距������ 离+ 的π6 (最ω小>0值,x∈为Rπ3,)则.在f曲(x)线的最y=小f(x正)与周直期线为
()
A.π2
B.23π
C.π
,π,
3π 2
,2π
图像变换:平移变换、伸缩变换
定义域:R
������ = ������sin(������������ + ������)的性质
值域:[-|������|,|������|]
周期:������
=
2π |������|
奇偶性:当������
=
������π(������∈Z)时,为奇函数;当������
高中数学专题复习 第一章三角函数 章节复习
角:一条射线绕其端点旋转所形成的图形叫作角
概念 正角:按逆时针方向旋转所成的角 零角:没有任何旋转的角
负角:按顺时 针方向旋 转所成 的角
1 弧度的角:在单位圆(半径为 1 的圆)中,单位长度的弧所对的圆心角为 1 弧度的角
任意角
弧度制
1rad =
180 π
������
=
tan������:������
≠
������π
+
π 2
,������∈Z,������∈R,������
=
π,奇函数,仅有递增区间
������ = ������sin(������������ + ������)的图像
五点法作图 :令������������
+
������
=
0,
π 2
诱导公式:2������π
+
������(������∈Z),-������,π
±
������,
π 2
±
������,2π-������
三角函数
������ = sin������:������∈R,������∈[-1,1],������ = 2π,奇函数,有递增和递减区间
性质 ������ = cos������:������∈R,������∈[-1,1],������ = 2π,偶函数,有递增和递减区间
=
������π
+
π 2
(������∈Z)时,为偶函数
单调性:有递增和递减区间
对称性:对称中心
������π-������ ������
,0
(������∈Z),对称轴 ������
=
������π+π2-������ ������
(������∈Z)
实际应用:在生活、建筑、物理、航海等方面的应用
专题一 专题二 专题三
解:(1)由已知得 x=-4,y=3,r= ������2 + ������2=5,
所以 sin α=3,cos α=-4,于是
5
5
原式=(-co(s-s���i���n)s���i���n)((-πco-���s���)���[���-)s(i-nsi(nπ���+���)���c���o)]ssi7nπ6+π+π2-���π2��� +������
°,1°
=
π 180
rad
公式:| ������|
=
������ ������
,������
=
1 2
������������
象限角和轴线角
象限角:终边落在第几象限就是第几象限角
轴线角:终边 在������轴上 :������
=
������π(������∈ Z),终边在 ������轴 上:������
=
-si n2������cos ������ -cos
π 2
-������
(-cos ������)sin ������[-(-sin ������)]sin
π 2
+������
=-scions2������������scions2������������scions������������=-csoins
故函数的解析式为 f(x)=
2sin
2������
+
π 3
,
所以 f(0)= 2sinπ3 = 26.
答案:
6 2
专题一 专题二 专题三
解析:(1)由于T=π,则ω=2,
因此,f(x)=sin
2������
+
π 4
.
又因为 g(x)=cos 2x=sin
2������
+
π 2
,
而 f(x+φ)=sin 故 φ=π8,
.
所以当 t=- 22,
即
x=-π4时,f(x)有最小值,且最小值为-
-
2 2
-
1 2
2
+
5 4
=
12
2.
专题一 专题二 专题三
变式训练 3(1)当 x=π4时,函数 y=f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,
则函数 y=f
3π 4
-������
是(
)
A.奇函数,且当 x=π2时取得最大值
������ ������
=34.
(2)①由已知得 sin(π+θ)=2 2,cos(π+θ)=-1,
3
3
于是-cos θ=-1,
3
从而 cos θ=1.
3
22
②由①知
tan(π+θ)=
3
-13
=-2
2,
即 tan θ=-2 2.
因此,tan(θ-3π)=tan θ=-2 2.
专题一 专题二 专题三
(2)若角 π+θ 的终边与单位圆的交点是 P
-
1 3
,
22 3
.
①求cos θ的值;
②求tan(θ-3π)的值.
分析:(1)先根据三角函数的定义求出sin α,cos α,tan α的值,再将待
求值式子化简,最后代入求值.(2)根据三角函数的定义,先求出
sin(π+θ)与cos(π+θ)以及tan(π+θ)的值,再化简求值.
D.2π
(3)已知|x|≤π4,求函数 y=f(x)=-sin2x+sin x+1 的最小值.
专题一 专题二 专题三
(当1)解2k析π-π:y≤=xco-π4s≤π42-k������π(=k∈cosZ)���时���- π4,函,数是增加的,
解得 2kπ-34π≤x≤2kπ+π4(k∈Z).
当 k=0 时,-34π≤x≤π4,
故函数在
-
3π 4
,
π 4
上是增加的.
答案:B
专题一 专题二 专题三
(2)解析:因为
sin
������������
+
π 6
= 12,
所以 ωx1+π6 = π6+2k1π(k1∈Z)或 ωx2+π6 = 56π+2k2π(k2∈Z),
则 又相ω(邻x2交-x1点)=距23π离+2的(k最2-k小1)π值(k为1,kπ32∈, Z).
=
������π
+
π 2
(������∈Z)
终边相同的角的集合:{������|������ = 2������π + ������,������∈Z}
三角函数
三角函数的定义:sin ������
=
������ ������
,cos������
=
������ ������
,tan������
=
������ ������
1 2
������-
π 3
的图像,再向左平移π3个单位,得到
y=sin
1 2
������
+
π 3
-
π 3
的图像,即
y=sin
1 2
������-
π 6
的图像.
答案:(1)910π
(2)y=sin
1 2
������-
π 6
专题一 专题二 专题三
专题三 三角函数的性质 1.三角函数的周期在不加说明的情况下,就是指最小正周期.求三 角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k,y=Acos(ωx+φ)+k及y=Atan(ωx+φ)+k的形式,再用 公式求解,另外还可以利用图像求出三角函数的周期. 2.研究函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性时,应先考虑其定义域,若其定 义域关于原点对称,则当φ=kπ(k∈Z)时,函数为奇函数;当 φ=kπ+π2(k∈Z)时,函数为偶函数;当 φ≠������2π(k∈Z)时,函数为非奇非偶 函数. 3.求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的单调区 间时(若ω<0,可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值),应把 ωx+φ视为一个整体,由A的符号来确定单调性.