第三章习题答案 3.1 （1）非周期（2）N=1 （3）N=10 （4）N=4 （5）N=20 3.2 02s f f ωπ=，1s sf T = （1）0153,2f ωπ==；0.3s T =，05f π= （2）010,25f ωπ==；0.3s T =，0503f =（3）0,0.55f πω==；0.3s T =，013f =（4）03.5,8.75f ωπ==；0.3s T =，0356f =（5） ()()()(){}0.20.210.20.20.20.2(0.2)(0.2)1cos(0.2)()2130.6cos(0.2)() 1.8()0.6()211.80.6()0.6()2110.910.610.6j n j n n n j n j n n nj n j n j j n e e F n u n F e e u n F e u n F e u n ee ππππππωπωπππ-+-----+=+⎡⎤⎡⎤-=-•+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-•-+-⎣⎦⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭3.3 function [X]=myDTFT(x, n, w)% 计算DTFT% [X]=myDTFT(x, n, w) %X=输出的DTFT 数组 %x=输入的有限长序列 %n=样本位置行向量 %w=频率点位置行向量 X=x*exp(-j*n ’*w)3.4 (1) 7()10.3j j X e eωω-=- （2）20.51()(10.5)10.5j j j j e X e e e ωωωω---=---（3）2()0.80.1610.4j j j e X e e ωωω--=⨯⨯-（4）112210.920.9()(10.9)10.9(10.9)j j j j j j e e X e e e e ωωωωωω-----⨯-⨯=-=---3.5(1) 23456()642246j j j j j j j X e e e e e e e ωωωωωωω------=++++++（2）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++++++ （3）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++---- （4）235678()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++----3.6 00()()11()211j j j A X e ae ae ωωωωω---+⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦3.7 N=5，()5611()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+--N=25，()252611()11j j j j j j e e eX e e e ωωωωωω----=+-- N=100，()10010111()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+-- N=5，》n = -5:5; x =ones(1,11); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/11* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度N=25,>> n = -25:25; x =ones(1,51); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/51* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率相位部分弧度-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率幅度部分幅值N=100,>> n = -100:100; x =ones(1,201); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/201* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度随着N 的增大，DTFT 的幅度特性主瓣越尖锐，旁瓣越小，越接近于1)(=n x 的DTFT 特性。

3.83.8(1) [()]()j F x n X eω--=(2) [()]()j F x n X e ω**-=(3) ()*1{Re[()]}()()2j j F x n X e X e ωω-=+ (4) ()*1{Im[()]}()()2j j F j x n X e X e ωω-=-(5) [()]Re[()]j e F x n X e ω= (6) [()]*Im[()]j o F x n j X e ω=3.9 (5)(5)(5)(),51()[()()],()520,nx n y n x n x n x n ⎧⎪=+-=⎨⎪⎩是的倍数其中其他n3.10 (1) DTFT 为纯虚数（2）DTFT 为纯实数 （3）DTFT 为纯实数 3.11（1）x(n)为奇序列 （2）x(n)为偶序列3.12（1）22()132()()10.5j j j j j j j Y e e e H e X e e e ωωωωωωω-----+==-+b=[1,-3,2]; a=[1,-1,0.5];[H,w]=freqz(b,a);%0到pi 分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));gridxlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('|H|') title('幅度响应')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('相位(单位：pi)') title('相位响应')0.10.20.30.40.50.60.70.80.9101234频率以pi 为单位|H |幅度响应0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51频率以pi 为单位相位(单位：p i )相位响应（2）22()13()()10.25j j j j j j Y e e H e X e e eωωωωωω----==++ b=[1,0,-3]; a=[1,1,0.25];[H,w]=freqz(b,a);%0到pi 分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('|H|') title('幅度响应')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('相位(单位：pi)') title('相位响应')0.10.20.30.40.50.60.70.80.9102468频率以pi 为单位|H |幅度响应0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51频率以pi 为单位相位(单位：p i )相位响应（3）6()1()()1j j j j j Y e e H e X e eωωωωω---==- b=[1,0,0,0,0,0,-1]; a=[1,-1];[H,w]=freqz(b,a);%0到pi 分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('|H|') title('幅度响应')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('相位(单位：pi)') title('相位响应')00.10.20.30.40.50.60.70.80.91246频率以pi 为单位|H |00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.5频率以pi 为单位相位(单位：p i )相位响应（4）44()10.4()()10.4j j j j j Y e e H e X e e ωωωωω---==-b=[1,-0.4];a=[1,0,0,0,-0.4^4]; [H,w]=freqz(b,a);%0到pi 分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('|H|') title('幅度响应')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('相位(单位：pi)') title('相位响应')00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.511.5频率以pi 为单位|H |0.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.050.10.150.2频率以pi 为单位相位(单位：p i )相位响应3.13 2411()1313j j H ee ωωω--=*- 3.14 21100~~~~()()()()N N j knknN N n n X k DFS x n x n e x n W π---==⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑（1）24135555~(){4,4*,4*,4*,4*}X k W W W W =（2）~(){42,3,0,13}X k j j j =++- （3）~(){2,0,2,0}X k =--（4）~(){2,26,2,26}X k j j j j =+-+3.15 21100~~~~11()()()()N N j kn kn NNk k x n IDFS X k X k e X k W N N π---==⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑ （1）~(){0.75,0.25,0.75,0.75}x n =- （2）~(){2.5,0.50.5,0.5,0.50.5}x n j j =+- （3）~(){0,0.44720.671,0.4472 1.4662,0.4472 1.4662,0.44720.671}x n j j j j =---+-+（4）~(){0.750.5,0.250.5,0.750.5,1.250.5}x n j j j j =+-+-3.16 （1）解法11,,1,0)(10-==∑-=N k nW k X N n knN上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。